Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A entropia é dada por:
S=CV cdot ln P+CP cdot ln V+c t e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente quer demonstrar uma expressão para a entropia S = CV cdot ln P + CP cdot ln V + cte de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes. A fórmula que queremos chegar é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a definição de entropia e as relações entre pressão , volume e temperatura para um gás perfeito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito, a equação de estado é dada por:
PV = nRT
Aqui, é a pressão, é o volume, é a quantidade de substância, é a constante dos gases e é a temperatura. Como estamos lidando com entropia, precisamos lembrar da definição diferencial de entropia em processos reversíveis.

Passo 3

A variação de entropia dS = de em um processo reversível pode ser expressa como:
de
Onde dS = CV dT + P dVT é o calor trocado reversivelmente. Para um gás com capacidades caloríficas constantes, temos que:
Substituindo na equação de :

Passo 4

Vamos agora relacionar essas variações com as variáveis d(PV) = nR dT e P dV + V dP = nR dT . Da equação de estado dT = P dV + V dPnR , podemos derivar:
Expandindo a derivada:
Isolando :

Passo 5

Substituindo dS = CV ( P dV + V dPnR ) + P dVT na expressão de dS = CV ( P dV + V dPnR ) + P dVPVnR = CV (P dV + V dP) + nR P dVPV :
Como , podemos substituir :

Passo 6

Simplificando a expressão:
dS = CV P dV + CV V dP + nR P dVPV = (CV + nR) P dV + CV V dPPV
Sabemos que dS = CP P dV + CV V dPPV = CP dVV + CV dPP , então substituindo:

Passo 7

Agora, para encontrar a expressão da entropia integral dS = integral CP dVV + integral CV dPP , integramos ambos os lados:
S = CP ln V + CV ln P + cte
Integrando, temos:

Resposta

Assim, demonstramos que a entropia S = CV cdot ln P + CP cdot ln V + cte de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes é dada por:

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