Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A entropia é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente quer demonstrar uma expressão para a entropia de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes. A fórmula que queremos chegar é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a definição de entropia e as relações entre pressão , volume e temperatura para um gás perfeito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito, a equação de estado é dada por:
Aqui, é a pressão, é o volume, é a quantidade de substância, é a constante dos gases e é a temperatura. Como estamos lidando com entropia, precisamos lembrar da definição diferencial de entropia em processos reversíveis.

Passo 3

A variação de entropia em um processo reversível pode ser expressa como:
Onde é o calor trocado reversivelmente. Para um gás com capacidades caloríficas constantes, temos que:
Substituindo na equação de :

Passo 4

Vamos agora relacionar essas variações com as variáveis e . Da equação de estado , podemos derivar:
Expandindo a derivada:
Isolando :

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Como , podemos substituir :

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 7

Agora, para encontrar a expressão da entropia , integramos ambos os lados:
Integrando, temos:

Resposta

Assim, demonstramos que a entropia de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes é dada por:

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Deduza:
Deduza:
Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A compressibilidade adiabática e:
Determine a variação de entropia de um corpo quando é colocado em contato térmico com um reservatório térmico à temperatura . Suponha que inicialmente o corpo esteja a uma temperatura e que a capacidade térmica isocórica do corpo seja constante. Determine também o máximo de trabalho que se pode obter quando o corpo passa do estado inicial ao estado de equilíbrio com o reservatório.