Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A entropia é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente quer demonstrar uma expressão para a entropia
de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes. A fórmula que queremos chegar é:
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente a definição de entropia e as relações entre pressão
, volume
e temperatura
para um gás perfeito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás perfeito, a equação de estado é dada por:
Aqui,
é a pressão,
é o volume,
é a quantidade de substância,
é a constante dos gases e
é a temperatura. Como estamos lidando com entropia, precisamos lembrar da definição diferencial de entropia em processos reversíveis.
Passo 3
A variação de entropia
em um processo reversível pode ser expressa como:
Onde
é o calor trocado reversivelmente. Para um gás com capacidades caloríficas constantes, temos que:
Substituindo na equação de
:
Passo 4
Vamos agora relacionar essas variações com as variáveis
e
. Da equação de estado
, podemos derivar:
Expandindo a derivada:
Isolando
:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Como
, podemos substituir
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 7
Agora, para encontrar a expressão da entropia
, integramos ambos os lados:
Integrando, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que a entropia
de um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes é dada por:
Exercícios relacionados
Deduza:
Deduza:
Para um gás perfeito com capacidades caloríficas constantes, demonstre que: A compressibilidade adiabática e:
Determine a variação de entropia de um corpo quando é colocado em contato térmico com um reservatório térmico à temperatura
. Suponha que inicialmente o corpo esteja a uma temperatura
e que a capacidade térmica isocórica
do corpo seja constante. Determine também o máximo de trabalho que se pode obter quando o corpo passa do estado inicial ao estado de equilíbrio com o reservatório.