Deduza a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de área de áreas retangulares a partir da equação de Boussinesq.
Dica: Resolver a integral dupla abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para deduzir a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular, partindo da equação de Boussinesq. O conteúdo envolve mecânica dos solos, especialmente a teoria da elasticidade aplicada a fundações. Para resolver isso, vamos precisar entender e calcular uma integral dupla que nos ajuda a somar as contribuições de tensão de cada ponto da área retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Boussinesq, que descreve como a tensão se propaga no solo a partir de uma carga pontual. A equação é dada por:
Aqui, é a tensão vertical, é a carga aplicada, e é a profundidade no solo.
Passo 3
Agora, como queremos a tensão resultante de uma área retangular em vez de um ponto, precisamos integrar a equação de Boussinesq sobre toda a área da carga. Isso significa que vamos somar as contribuições de cada ponto da área retangular com dimensões e .
Passo 4
A integral dupla que representa essa soma é:
Vamos resolver essa integral para encontrar a expressão da tensão resultante.
Passo 5
Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Isso nos ajuda a tornar a integral adimensional e mais fácil de resolver.
Passo 6
Substituindo as variáveis, a integral se transforma em:
Observe que o do denominador original cancela com o que surge da mudança de variável.
Passo 7
Agora, podemos resolver a integral em coordenadas polares, onde e . A integral se torna:
Aqui, e são os limites adaptados para as novas coordenadas.
Passo 8
Integrando em primeiro, temos:
Passo 9
Agora, integramos em :
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 10
Voltando às variáveis originais, substituímos e corresponde ao ângulo no canto da área retangular.
Passo 11
Finalmente, juntando tudo, obtemos a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto da área retangular:
Resposta
A equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular é: