Deduza a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de área de áreas retangulares a partir da equação de Boussinesq.
Dica: Resolver a integral dupla abaixo
integral0^b integral0^a d x cdot d yz^2 cdot[1+(x^2+y^2z^2)^2]^52

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para deduzir a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular, partindo da equação de Boussinesq. O conteúdo envolve mecânica dos solos, especialmente a teoria da elasticidade aplicada a fundações. Para resolver isso, vamos precisar entender e calcular uma integral dupla que nos ajuda a somar as contribuições de tensão de cada ponto da área retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Boussinesq, que descreve como a tensão se propaga no solo a partir de uma carga pontual. A equação é dada por:
sigmaz = Ppi cdot z^3(x^2 + y^2 + z^2)^5/2
Aqui, é a tensão vertical, é a carga aplicada, e é a profundidade no solo.

Passo 3

Agora, como queremos a tensão resultante de uma área retangular em vez de um ponto, precisamos integrar a equação de Boussinesq sobre toda a área da carga. Isso significa que vamos somar as contribuições de cada ponto da área retangular com dimensões e .

Passo 4

A integral dupla que representa essa soma é:
integral0^b integral0^a d x cdot d yz^2 cdot[1+(x^2+y^2z^2)^2]^52
Vamos resolver essa integral para encontrar a expressão da tensão resultante.

Passo 5

Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
u = xz e v = yz
Isso nos ajuda a tornar a integral adimensional e mais fácil de resolver.

Passo 6

Substituindo as variáveis, a integral se transforma em:
z^2 integral0^bz integral0^az du cdot dv(1 + u^2 + v^2)^52
Observe que o do denominador original cancela com o que surge da mudança de variável.

Passo 7

Agora, podemos resolver a integral em coordenadas polares, onde integral0^thetamax integral0^rmax r , dr , dtheta(1 + r^2)^52 e . A integral se torna:
Aqui, e são os limites adaptados para as novas coordenadas.

Passo 8

Integrando em integral0^rmax r , dr(1 + r^2)^52 = [ -13 cdot 1(1 + r^2)^32 ]0^rmax = 13 (1 - 1(1 + rmax^2)^32) primeiro, temos:

Passo 9

Agora, integramos em integral0^thetamax dtheta = thetamax :
13 thetamax (1 - 1(1 + rmax^2)^32)
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 10

Voltando às variáveis originais, substituímos e corresponde ao ângulo no canto da área retangular.

Passo 11

Finalmente, juntando tudo, obtemos a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto da área retangular:
sigmaz = Ppi cdot 13 thetamax (1 - 1(1 + (az)^2 + (bz)^2)^32)

Resposta

A equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular é:
sigmaz = P3pi thetamax (1 - 1(1 + (az)^2 + (bz)^2)^32)

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