Deduza a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de área de áreas retangulares a partir da equação de Boussinesq.
Dica: Resolver a integral dupla abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para deduzir a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular, partindo da equação de Boussinesq. O conteúdo envolve mecânica dos solos, especialmente a teoria da elasticidade aplicada a fundações. Para resolver isso, vamos precisar entender e calcular uma integral dupla que nos ajuda a somar as contribuições de tensão de cada ponto da área retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Boussinesq, que descreve como a tensão se propaga no solo a partir de uma carga pontual. A equação é dada por:
Aqui, é a tensão vertical, é a carga aplicada, e é a profundidade no solo.

Passo 3

Agora, como queremos a tensão resultante de uma área retangular em vez de um ponto, precisamos integrar a equação de Boussinesq sobre toda a área da carga. Isso significa que vamos somar as contribuições de cada ponto da área retangular com dimensões e .

Passo 4

A integral dupla que representa essa soma é:
Vamos resolver essa integral para encontrar a expressão da tensão resultante.

Passo 5

Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável. Vamos definir:
Isso nos ajuda a tornar a integral adimensional e mais fácil de resolver.

Passo 6

Substituindo as variáveis, a integral se transforma em:
Observe que o do denominador original cancela com o que surge da mudança de variável.

Passo 7

Agora, podemos resolver a integral em coordenadas polares, onde e . A integral se torna:
Aqui, e são os limites adaptados para as novas coordenadas.

Passo 8

Integrando em primeiro, temos:

Passo 9

Agora, integramos em :
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 10

Voltando às variáveis originais, substituímos e corresponde ao ângulo no canto da área retangular.

Passo 11

Finalmente, juntando tudo, obtemos a equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto da área retangular:

Resposta

A equação do acréscimo de tensão de Newmark para o canto de uma área retangular é:

Exercícios relacionados

Um jogador de golfe atinge uma bola, dando-lhe uma velocidade inicial de módulo dirigida acima da horizontal. Supondo que a massa da bola seja 46 g e que a bola e o taco permaneçam em contato por , encontre: a) o impulso sobre a bola, b) o impulso sobre o taco, c) a força média exercida sobre a bola pelo, e d) o trabalho realizado sobre a bola.
R: a) 2,3 N.s no sentido inicial do vôo b) 2,3 N.s no sentido oposto do item a) c) 1400 N no sentido inicial do vôo, d) 58
Um livro de desliza sobre uma mesa horizontal. A força de atrito cinético sobre o livro possui módulo igual a .
(a) (1pt.) Qual é o trabalho realizado pela força de atrito durante um deslocamento de da direita para a esquerda?
O livro se desloca agora da esquerda para a direita voltando ao ponto inicial.
(b) (1pt.) Durante o segundo deslocamento de , qual o trabalho realizado pela força de atrito?
© (1pt.) Qual o trabalho total realizado pela força de atrito durante o deslocamento total de ida e volta ao ponto inicial?
(d) (1pt.) Com base em sua resposta do item ©, você afirmaria que a força de atrito é conservativa ou não conservativa?
O tubo de liga de magnésio AM1004-T61 é fechado com uma chapa rígida. A folga entre e a extremidade da haste circular sólida de liga de alumínio 6061 -T6 é de quando a temperatura é de . Determine a temperatura mais alta que não provoque o escoamento no tubo ou na haste. Ignore a espessura da tampa rígida.
O tubo de aço A992 está acoplado aos colares em e . Quando a temperatura é , não há nenhuma carga axial no tubo. Se o gás quente que passa pelo tubo provocar uma variação dado em metros, determine a tensão normal média no tubo. O diâmetro interno é 50 mm e a espessura da parede, 4 mm.