Deduza uma equação da elipse
b) de focos F1(-1,-1) e F2(1,1) e eixo maior 4 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que deduzir a equação de uma elipse que tem dois focos específicos, e , e um eixo maior de comprimento . A matéria que vamos usar aqui é a geometria das elipses, especialmente as propriedades dos focos e do eixo maior. Precisamos entender como a distância entre os focos e o comprimento do eixo maior se relacionam para construir a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Então, a gente calcula as coordenadas do ponto médio entre Centro (h, k) = ( -1 + 12, -1 + 12 ) = (0, 0) e .
Então, o centro da elipse está na origem, .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 . A fórmula para a distância entre dois pontos 2c = raiz(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = raiz(2)^2 + (2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2 e é:
â
Aplicando isso aos nossos focos:
Então, .

Passo 4

O comprimento do eixo maior é a = 4raiz22 = 2raiz2 , e foi dado que . Assim, podemos encontrar :
Agora, sabemos que e .

Passo 5

Para encontrar c^2 = a^2 - b^2 , que é o semi-eixo menor, usamos a relação das elipses:
(raiz2)^2 = (2raiz2)^2 - b^2 2 = 8 - b^2 b^2 = 8 - 2 b^2 = 6 b = raiz6
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Até aqui, sabemos que o centro da elipse é (x cos theta + y sin theta)^2a^2 + (-x sin theta + y cos theta)^2b^2 = 1 , , , e . A próxima etapa é perceber que os focos estão alinhados na diagonal , o que significa que o eixo maior está inclinado de 45 graus em relação aos eixos coordenados padrão.
Para uma elipse inclinada, a equação geral é:
Aqui, ou radianos.

Passo 7

Calculando os cossenos e senos de cos theta = sin theta = raiz22 :
(x cdot raiz22 + y cdot raiz22)^2(2raiz2)^2 + (-x cdot raiz22 + y cdot raiz22)^2(raiz6)^2 = 1
Substituindo na equa��ão geral:
(2raiz2)^2 = 8 e (raiz6)^2 = 6
Simplificando os denominadores:
( raiz22(x + y) )^28 + ( raiz22(-x + y) )^26 = 1
Então:

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
24(x + y)^2 8 + 24(-x + y)^2 6 = 1 (x + y)^2 16 + (-x + y)^2 12 = 1
Essa é a equação da elipse com os focos e eixo maior dados.

Resposta

A equação da elipse é:
(x + y)^216 + (-x + y)^212 = 1

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