Deduza uma equação da elipse
b) de focos
e
e eixo maior
b) de focos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que deduzir a equação de uma elipse que tem dois focos específicos,
e
, e um eixo maior de comprimento
. A matéria que vamos usar aqui é a geometria das elipses, especialmente as propriedades dos focos e do eixo maior. Precisamos entender como a distância entre os focos e o comprimento do eixo maior se relacionam para construir a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro é o ponto médio entre os dois focos. Então, a gente calcula as coordenadas do ponto médio entre
e
.
Então, o centro da elipse está na origem,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos focos:
Então,
.
Passo 4
O comprimento do eixo maior é
, e foi dado que
. Assim, podemos encontrar
:
Agora, sabemos que
e
.
Passo 5
Para encontrar
, que é o semi-eixo menor, usamos a relação das elipses:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Até aqui, sabemos que o centro da elipse é
,
,
, e
. A próxima etapa é perceber que os focos estão alinhados na diagonal
, o que significa que o eixo maior está inclinado de 45 graus em relação aos eixos coordenados padrão.
Para uma elipse inclinada, a equação geral é:
Aqui,
ou
radianos.
Passo 7
Calculando os cossenos e senos de
:
Substituindo na equa��ão geral:
Simplificando os denominadores:
Então:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Essa é a equação da elipse com os focos e eixo maior dados.
Resposta
A equação da elipse é:
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Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(e)
(e)
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(b)
(b)
Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são
e
sabendo que um de seus vértices é o ponto
.
Escreva a equação da elipse de focos
e
sabendo que um de seus vértices é a origem e que
.