Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são y=x e y=-x sabendo que um de seus vértices é o ponto (2,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem como assíntotas as retas e , e que possui um vértice no ponto . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as equações das hipérboles são formadas e como as assíntotas se relacionam com os parâmetros da hipérbole.

Passo 2

Sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são dadas pelas equações , onde é o centro da hipérbole, e e são parâmetros que definem a forma da hipérbole. No nosso caso, as assíntotas são e . Comparando com a fórmula geral, percebemos que e , ou seja, o centro da hipérbole está na origem .

Passo 3

Com o centro na origem, a equação padrão da hipérbole horizontal é . As assíntotas dessa hipérbole são . No nosso caso, as assíntotas são e , o que significa que . Portanto, .

Passo 4

Sabemos também que um dos vértices está em . Para a hipérbole horizontal, os vértices estão localizados em . Como um vértice está em , temos que .

Passo 5

Agora que já temos x^22^2 - y^22^2 = 1 e x^24 - y^24 = 1 , podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole. Assim, a equação fica:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da hipérbole é .

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