Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são
e
sabendo que um de seus vértices é o ponto
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem como assíntotas as retas
e
, e que possui um vértice no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como as equações das hipérboles são formadas e como as assíntotas se relacionam com os parâmetros da hipérbole.
Passo 2
Sabemos que as assíntotas de uma hipérbole são dadas pelas equações
, onde
é o centro da hipérbole, e
e
são parâmetros que definem a forma da hipérbole. No nosso caso, as assíntotas são
e
. Comparando com a fórmula geral, percebemos que
e
, ou seja, o centro da hipérbole está na origem
.
Passo 3
Com o centro na origem, a equação padrão da hipérbole horizontal é
. As assíntotas dessa hipérbole são
. No nosso caso, as assíntotas são
e
, o que significa que
. Portanto,
.
Passo 4
Sabemos também que um dos vértices está em
. Para a hipérbole horizontal, os vértices estão localizados em
. Como um vértice está em
, temos que
.
Passo 5
Agora que já temos
e
, podemos substituir esses valores na equação padrão da hipérbole. Assim, a equação fica:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da hipérbole é
.
Exercícios relacionados
Deduza uma equação da elipse
b) de focos e
e eixo maior
b) de focos
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(e)
(e)
Escreva a equação da elipse de focos
e
sabendo que um de seus vértices é a origem e que
.
Deduza uma equação da parábola
c) de foco e vértice
.
c) de foco