Escreva a equação da elipse de focos
e
sabendo que um de seus vértices é a origem e que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A questão pede para encontrar a equação da elipse que tem os focos em
e
, sabendo que um dos vértices está na origem e que
. Para isso, vamos usar os conceitos de definição da elipse, distância entre focos e a forma padrão da equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a elipse é o conjunto de pontos cujo a soma das distâncias para os dois focos é constante. Para uma elipse com eixo maior vertical, a forma padrão da equação é:
onde
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o centro da elipse. Os focos estão em
e
. O centro é o ponto médio entre os focos:
Então, o centro é
.
Passo 4
A distância entre os dois focos é
, onde
está relacionado aos semi-eixos pela relação
(mas como nosso
e
estão definidos de forma diferente, precisamos ajustar isso).
No nosso caso, a distância entre os focos é
, já que
. Então,
Passo 5
Sabemos que o vértice está na origem
. O vértice mais próximo do centro está a uma distância
do centro. Então, a distância do centro à origem é
:
Mas isso contraria a condição
. Parece que houve um mal-entendido. Vamos reconsiderar.
Passo 6
Na verdade, a origem
é um vértice, então a distância do centro ao vértice é
. Então,
Isso confirma nossa relação anterior. Agora, vamos encontrar
e
em termos de
.
Passo 7
Usando a relação
e sabendo que
, substituímos:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Resolvendo essa equação para
em função de
:
Como
, escolhemos a solução positiva:
Mas isso novamente nos leva a
, o que não satisfaz
. Parece que houve um erro nos passos anteriores.
Passo 8
Corrigindo, na relação correta dos semi-eixos para uma elipse vertical, temos
, onde
é o semi-eixo maior e
o semi-eixo menor.
Dado que
, substituímos na equação
:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Considerando
:
Isso indica que não existe uma elipse com esses parâmetros, o que sugere que o enunciado pode ter inconsistências.
Resposta
Não existe uma elipse que satisfaça as condições dadas no enunciado, já que não é possível ter
com um dos vértices na origem e focos em
e
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são
e
sabendo que um de seus vértices é o ponto
.
Deduza uma equação da elipse
b) de focos e
e eixo maior
b) de focos
Deduza uma equação da parábola
c) de foco e vértice
.
c) de foco
Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b)
b)