Escreva a equação da elipse de focos F1(0, a) e F2(0, b) sabendo que um de seus vértices é a origem e que b>a>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A questão pede para encontrar a equação da elipse que tem os focos em e , sabendo que um dos vértices está na origem e que . Para isso, vamos usar os conceitos de definição da elipse, distância entre focos e a forma padrão da equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a elipse é o conjunto de pontos cujo a soma das distâncias para os dois focos é constante. Para uma elipse com eixo maior vertical, a forma padrão da equação é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o centro da elipse. Os focos estão em h = 0 + 02 = 0 e k = a + b2 . O centro é o ponto médio entre os focos:
Então, o centro é .

Passo 4

A distância entre os dois focos é 2c = b - a implies c = b - a2 , onde está relacionado aos semi-eixos pela relação (mas como nosso e estão definidos de forma diferente, precisamos ajustar isso).
No nosso caso, a distância entre os focos é , já que . Então,

Passo 5

Sabemos que o vértice está na origem a + b2 = a implies a + b = 2a implies b = a . O vértice mais próximo do centro está a uma distância do centro. Então, a distância do centro à origem é :
Mas isso contraria a condição . Parece que houve um mal-entendido. Vamos reconsiderar.

Passo 6

Na verdade, a origem a + b2 - a = c implies a + b2 - a = b - a2 = c é um vértice, então a distância do centro ao vértice é . Então,
Isso confirma nossa relação anterior. Agora, vamos encontrar e em termos de .

Passo 7

Usando a relação b - a2 = raiza^2 - b^2 e sabendo que ( b - a2 )^2 = a^2 - b^2 , substituímos:
(b - a)^24 = a^2 - b^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
(b - a)^2 = 4(a^2 - b^2)
b^2 - 2ab + a^2 = 4a^2 - 4b^2
5b^2 - 2ab - 3a^2 = 0
b = 2a pm raiz(2a)^2 + 60a^210 = 2a pm raiz64a^210 = 2a pm 8a10
b = 10a10 = a
Resolvendo essa equação para em função de :
Como , escolhemos a solução positiva:
Mas isso novamente nos leva a , o que não satisfaz . Parece que houve um erro nos passos anteriores.

Passo 8

Corrigindo, na relação correta dos semi-eixos para uma elipse vertical, temos ( b - a2 )^2 = a^2 - b^2 , onde (b - a)^24 = a^2 - b^2 é o semi-eixo maior e b^2 - 2ab + a^2 = 4a^2 - 4b^2 o semi-eixo menor.
Dado que 5b^2 - 2ab - 3a^2 = 0 , substituímos na equação b = 2a pm raiz4a^2 + 60a^210 = 2a pm raiz64a^210 = 2a pm 8a10 :
b = 10a10 = a (não válido)
b = -6a10 = -3a5 (não válido, já que b > a > 0)
Resolvendo essa equação quadrática para :
Considerando :
ãá
ãáá
Isso indica que não existe uma elipse com esses parâmetros, o que sugere que o enunciado pode ter inconsistências.

Resposta

Não existe uma elipse que satisfaça as condições dadas no enunciado, já que não é possível ter com um dos vértices na origem e focos em e .

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