Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(e)
(e)
Passo 1
Entendendo o Enunciado e Preparando o Método
Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo usando o método da inversa de matrizes:
Conteúdo da Matéria: Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares e operações com matrizes.
O que vamos precisar:
- Montar a matriz dos coeficientes (matriz A) e o vetor das constantes (vetor B).
- Calcular a inversa da matriz A, se ela existir.
- Multiplicar a inversa de A pelo vetor B para encontrar as soluções para
, e .
Passo 2
Montando a Matriz dos Coeficientes e o Vetor das Constantes
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis em cada equação para montar a matriz
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -4 -4 & 1 & 1 e o vetor
B = 5 10 0 :
Matriz
:
Vetor
:
Passo 3
Calculando o Determinante da Matriz
det(A) = 1 cdot 1 & -4 1 & 1 - 1 cdot 1 & -4 -4 & 1 + 1 cdot 1 & 1 -4 & 1
Para que a inversa da matriz
1 & -4 1 & 1 = (1)(1) - (1)(-4) = 1 + 4 = 5 exista, o determinante de
1 & -4 -4 & 1 = (1)(1) - (-4)(-4) = 1 - 16 = -15 deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante (
1 & 1 -4 & 1 = (1)(1) - (1)(-4) = 1 + 4 = 5 ):
Calculando os menores:
Agora, substituindo de volta:
Como
, a matriz
é invertível.
Passo 4
Calculando a Inversa da Matriz
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
A inversa de uma matriz
C11 = 1 & -4 1 & 1 = 5 de ordem 3x3 pode ser calculada usando a fórmula:
Onde
C13 = 1 & 1 -4 & 1 = 5 é a matriz adjunta de
C21 = - 1 & -4 1 & 1 = -5 .
Vamos calcular os co-fatores de
C22 = 1 & -4 -4 & 1 = -15 :
Cofator
C23 = - 1 & 1 -4 & 1 = -5 :
Cofator
C32 = - 1 & 1 1 & -4 = 5 :
Cofator
C = 5 & 15 & 5 -5 & -15 & -5 -5 & 5 & 0 :
Cofator
A^-1 = 125 cdot 5 & -5 & -5 15 & -15 & 5 5 & -5 & 0 = 15 & -15 & -15 35 & -35 & 15 15 & -15 & 0 :
Cofator
:
Cofator
:
Cofator
:
Cofator
:
Cofator
:
Agora, a matriz de co-fatores
é:
A adjunta de
(
) é a transposta da matriz de co-fatores:
Finalmente, a inversa de
é:
Passo 5
Multiplicando a Inversa de
X = A^-1 cdot B pelo Vetor
X = 15 & -15 & -15 35 & -35 & 15 15 & -15 & 0 cdot 5 10 0 = 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + (-15) cdot 0 35 cdot 5 + (-35) cdot 10 + 15 cdot 0 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + 0 cdot 0 para Encontrar as Variáveis
Agora que temos
x = 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + 0 = 1 - 2 + 0 = -1 , podemos encontrar o vetor das variáveis
y = 35 cdot 5 + (-35) cdot 10 + 0 = 3 - 6 + 0 = -3 usando:
Vamos calcular:
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
A solução do sistema é:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(b)
(b)
Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(a)[ll1 & 4 2 & 7]
(a)
Deduza uma equação da elipse
b) de focosF1(-1,-1) e
F2(1,1) e eixo maior
4 raiz2
b) de focos
Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são
y=x e
y=-x sabendo que um de seus vértices é o ponto
(2,0) .