Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(e)
r x+y+z=5 x+y-4 z=10 -4 x+y+z=0

Passo 1

Entendendo o Enunciado e Preparando o Método
Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo usando o método da inversa de matrizes:
x + y + z = 5 x + y - 4z = 10 -4x + y + z = 0
Conteúdo da Matéria: Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares e operações com matrizes.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz dos coeficientes (matriz A) e o vetor das constantes (vetor B).
  • Calcular a inversa da matriz A, se ela existir.
  • Multiplicar a inversa de A pelo vetor B para encontrar as soluções para , e .

Passo 2

Montando a Matriz dos Coeficientes e o Vetor das Constantes
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis em cada equação para montar a matriz A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -4 -4 & 1 & 1 e o vetor B = 5 10 0 :
Matriz :
Vetor :

Passo 3

Calculando o Determinante da Matriz det(A) = 1 cdot 1 & -4 1 & 1 - 1 cdot 1 & -4 -4 & 1 + 1 cdot 1 & 1 -4 & 1
Para que a inversa da matriz 1 & -4 1 & 1 = (1)(1) - (1)(-4) = 1 + 4 = 5 exista, o determinante de 1 & -4 -4 & 1 = (1)(1) - (-4)(-4) = 1 - 16 = -15 deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante ( 1 & 1 -4 & 1 = (1)(1) - (1)(-4) = 1 + 4 = 5 ):
det(A) = 1 cdot 5 - 1 cdot (-15) + 1 cdot 5 = 5 + 15 + 5 = 25
Calculando os menores:
Agora, substituindo de volta:
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Calculando a Inversa da Matriz A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
A inversa de uma matriz C11 = 1 & -4 1 & 1 = 5 de ordem 3x3 pode ser calculada usando a fórmula:
C12 = - 1 & -4 -4 & 1 = -(-15) = 15
Onde C13 = 1 & 1 -4 & 1 = 5 é a matriz adjunta de C21 = - 1 & -4 1 & 1 = -5 .
Vamos calcular os co-fatores de C22 = 1 & -4 -4 & 1 = -15 :
Cofator C23 = - 1 & 1 -4 & 1 = -5 :
C31 = 1 & 1 1 & -4 = -5
Cofator C32 = - 1 & 1 1 & -4 = 5 :
C33 = 1 & 1 1 & 1 = 0
Cofator C = 5 & 15 & 5 -5 & -15 & -5 -5 & 5 & 0 :
Adj(A) = C^T = 5 & -5 & -5 15 & -15 & 5 5 & -5 & 0
Cofator A^-1 = 125 cdot 5 & -5 & -5 15 & -15 & 5 5 & -5 & 0 = 15 & -15 & -15 35 & -35 & 15 15 & -15 & 0 :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Cofator :
Agora, a matriz de co-fatores é:
A adjunta de ( ) é a transposta da matriz de co-fatores:
Finalmente, a inversa de é:

Passo 5

Multiplicando a Inversa de X = A^-1 cdot B pelo Vetor X = 15 & -15 & -15 35 & -35 & 15 15 & -15 & 0 cdot 5 10 0 = 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + (-15) cdot 0 35 cdot 5 + (-35) cdot 10 + 15 cdot 0 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + 0 cdot 0 para Encontrar as Variáveis
Agora que temos x = 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + 0 = 1 - 2 + 0 = -1 , podemos encontrar o vetor das variáveis y = 35 cdot 5 + (-35) cdot 10 + 0 = 3 - 6 + 0 = -3 usando:
z = 15 cdot 5 + (-15) cdot 10 + 0 = 1 - 2 + 0 = -1
Vamos calcular:
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = -3, z = -1

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Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(b)
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