Determine uma equação da circunferência:
g) situada no primeiro quadrante, tangente às retas
e
e que passa pelo ponto
g) situada no primeiro quadrante, tangente às retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que está no primeiro quadrante, é tangente às retas
e
, e passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da circunferência e as condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência é:
Onde
é o centro da circunferência e
é o raio.
Passo 3
Como a circunferência é tangente às retas
e
, isso significa que a distância do centro da circunferência a essas retas é exatamente igual ao raio
.
Passo 4
Vamos calcular a distância do centro
à reta
. A fórmula da distância de um ponto
a uma reta
é:
Então, para a reta
:
Como a circunferência está no primeiro quadrante e
está acima do centro, temos:
Passo 5
Agora, a circunferência também é tangente à reta
, que é o eixo
. A distância do centro
a essa reta é novamente igual ao raio
:
Passo 6
Vamos igualar as duas expressões para
:
Isso resulta em uma contradição (
), o que indica que precisamos revisar nossa abordagem.
Na verdade, percebi que, como a circunferência está no primeiro quadrante e é tangente tanto a
quanto a
, o centro da circunferência deve estar a uma distância
de cada uma dessas retas.
Portanto:
Passo 7
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 8
Agora que sabemos
e
, precisamos encontrar
. Sabemos que a circunferência passa pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação da circunferência:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Resolvendo para
:
Passo 9
Como a circunferência está no primeiro quadrante, o valor de
deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução
e ficamos com:
Resposta
A equação da circunferência é:
Ou simplificando: