Determine uma equação da circunferência:
g) situada no primeiro quadrante, tangente às retas y=3 e y=0 e que passa pelo ponto (-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que está no primeiro quadrante, é tangente às retas e , e passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação da circunferência e as condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro da circunferência e é o raio.

Passo 3

Como a circunferência é tangente às retas e , isso significa que a distância do centro da circunferência a essas retas é exatamente igual ao raio .

Passo 4

Vamos calcular a distância do centro |k - C| = r à reta |k - 3| = r . A fórmula da distância de um ponto k - 3 = r Rightarrow k = r + 3 a uma reta é:
Então, para a reta :
Como a circunferência está no primeiro quadrante e está acima do centro, temos:

Passo 5

Agora, a circunferência também é tangente à reta |k - 0| = r Rightarrow k = r , que é o eixo . A distância do centro a essa reta é novamente igual ao raio :

Passo 6

Vamos igualar as duas expressões para r + 3 = r :
k + r = 3 (distância até ( y = 3 ))
Isso resulta em uma contradição ( k - r = 0 (distância até ( y = 0 )) ), o que indica que precisamos revisar nossa abordagem.
Na verdade, percebi que, como a circunferência está no primeiro quadrante e é tangente tanto a quanto a , o centro da circunferência deve estar a uma distância de cada uma dessas retas.
Portanto:
âé
âé

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
k + r = 3 k - r = 0
Vamos resolver esse sistema. Somando as duas equações:
2k = 3 Rightarrow k = 32
Substituindo 32 - r = 0 Rightarrow r = 32 na segunda equação:

Passo 8

Agora que sabemos (-1 - h)^2 + (2 - 32)^2 = (32)^2 e (-1 - h)^2 + (12)^2 = 94 , precisamos encontrar (-1 - h)^2 + 14 = 94 . Sabemos que a circunferência passa pelo ponto (-1 - h)^2 = 2 . Vamos substituir esses valores na equação da circunferência:
-1 - h = pm raiz2
Simplificando:
h = -1 mp raiz2
Subtraindo de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Resolvendo para :

Passo 9

Como a circunferência está no primeiro quadrante, o valor de h = -1 + raiz2 deve ser positivo. Portanto, descartamos a solução e ficamos com:

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - (-1 + raiz2))^2 + (y - 32)^2 = (32)^2
Ou simplificando:
(x + 1 - raiz2)^2 + (y - 32)^2 = 94

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