Deduza a equação integrada de velocidade para uma reação A Produtos, de terceira ordem (v=k[A]^3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma reação de terceira ordem: A Produtos, onde a velocidade da reação é dada por v = k[A]^3. Nosso objetivo é encontrar a equação que relaciona a concentração de A com o tempo, ou seja, uma equação integrada de velocidade. Para isso, vamos usar conceitos de cinética química e cálculo, especialmente integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da reação ( v) é a taxa de variação da concentração do reagente em função do tempo. Matemáticamente, isso é representado por:
v = -d[A]dt
O sinal negativo indica que a concentração de A está diminuindo com o tempo.

Passo 3

Sabemos que a velocidade da reação é também igual a k[A]^3. Então, podemos igualar as duas expressões:
-d[A]dt = k[A]^3
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis [A] e t:
d[A][A]^3 = -k,dt

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. O objetivo é encontrar uma relação entre [A] e t:
integral d[A][A]^3 = integral -k,dt

Passo 5

Vamos resolver as integrais. A integral da esquerda:
integral [A]^-3,d[A] = [A]^-2-2 + C1
E a integral da direita:
integral -k,dt = -kt + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as duas expressões e simplificando as constantes (já que C1 - C2 = C):
-12[A]^2 = -kt + C
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
12[A]^2 = kt - C
Vamos reescrever C como 12[A]0^2, onde [A]0 é a concentração inicial de A:
1[A]^2 = 2kt + 1[A]0^2

Passo 7

Agora, vamos isolar [A]^2:
[A]^2 = 12kt + 1[A]0^2
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
[A] = 1raiz2kt + 1[A]0^2
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por [A]0:
[A] = [A]0raiz1 + 2k[A]0^2 t

Resposta

A equação integrada da velocidade para a reação de terceira ordem A Produtos é:
[A] = [A]0raiz1 + 2k[A]0^2 t

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