O plutônio 239 radioativo ( t1 / 2=2,44 times 10^5 anos) é usado em reatores nucleares e bombas atômicas. Se em uma bomba atômica pequena existirem 5,0 times 10^2 g desse isótopo, qual será o tempo necessário para que a substância decaia para 1,0 times 10^2 g, quantidade suficientemente pequena para tornar a bomba inofensiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma quantidade inicial de plutônio-239 radioativo, que é 500 gramas, e queremos saber quanto tempo leva para essa quantidade decair para 100 gramas. Vamos usar os conceitos de meia-vida e decadimento radioativo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida ( t1/2) de um isótopo radioativo é o tempo que leva para metade da quantidade inicial desse isótopo decair. No nosso caso, a meia-vida do plutônio-239 é 2,44 times 10^5 anos.

Passo 3

Agora, queremos descobrir quantas vezes precisamos aplicar a meia-vida para que 500 gramas se tornem 100 gramas. Isso significa que queremos reduzir a quantidade inicial por um fator de 500g 100g.

Passo 4

Vamos calcular quantas meias-vidas são necessárias para que 500 gramas se tornem 100 gramas. A cada meia-vida, a quantidade de plutônio é dividida por 2.
Primeiro, passamos de 500g para 250g (1 meia-vida), e depois de 250g para 125g (2 meias-vidas). Agora, estamos próximos de 100g. Para ser mais preciso, usamos a fórmula do decaimento radioativo:
N(t) = N0 (12)^tt1/2
Onde:
  • N(t) é a quantidade final,
  • N0 é a quantidade inicial,
  • t é o tempo,
  • t1/2 é a meia-vida.

Passo 5

Queremos resolver para t:
N(t)N0 = (12)^tt1/2
Substituindo os valores:
100500 = (12)^t2,44 times 10^5
0,2 = (12)^t2,44 times 10^5

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
ln(0,2) = t2,44 times 10^5 ln(12)
Agora, isolando t:
t = ln(0,2)ln(0,5) times 2,44 times 10^5

Passo 7

Calculando os logaritmos:
ln(0,2) approx -1,6094
ln(0,5) approx -0,6931
Substituindo na equação:
t = -1,6094-0,6931 times 2,44 times 10^5
t approx 2,322 times 2,44 times 10^5

Resposta

O tempo necessário para que 500 gramas de plutônio-239 decaiam para 100 gramas é aproximadamente 5,66 times 10^5 anos.

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