O plutônio 239 radioativo (
anos) é usado em reatores nucleares e bombas atômicas. Se em uma bomba atômica pequena existirem
desse isótopo, qual será o tempo necessário para que a substância decaia para
, quantidade suficientemente pequena para tornar a bomba inofensiva?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma quantidade inicial de plutônio-239 radioativo, que é 500 gramas, e queremos saber quanto tempo leva para essa quantidade decair para 100 gramas. Vamos usar os conceitos de meia-vida e decadimento radioativo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida (
) de um isótopo radioativo é o tempo que leva para metade da quantidade inicial desse isótopo decair. No nosso caso, a meia-vida do plutônio-239 é
anos.
Passo 3
Agora, queremos descobrir quantas vezes precisamos aplicar a meia-vida para que 500 gramas se tornem 100 gramas. Isso significa que queremos reduzir a quantidade inicial por um fator de
.
Passo 4
Vamos calcular quantas meias-vidas são necessárias para que 500 gramas se tornem 100 gramas. A cada meia-vida, a quantidade de plutônio é dividida por 2.
Primeiro, passamos de 500g para 250g (1 meia-vida), e depois de 250g para 125g (2 meias-vidas). Agora, estamos próximos de 100g. Para ser mais preciso, usamos a fórmula do decaimento radioativo:
Onde:
-
é a quantidade final, -
é a quantidade inicial, -
é o tempo, -
é a meia-vida.
Passo 5
Queremos resolver para
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolando
:
Passo 7
Calculando os logaritmos:
Substituindo na equação:
Resposta
O tempo necessário para que 500 gramas de plutônio-239 decaiam para 100 gramas é aproximadamente
anos.