Deduza uma equação da parábola
c) de foco
e vértice
.
c) de foco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa deduzir a equação de uma parábola que tem o foco em
e o vértice na origem, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a definição de parábola baseada na distância do ponto ao foco e à diretrix.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. Nosso objetivo é encontrar a equação que representa essa relação.
Passo 3
Sabemos que o vértice está no ponto
e o foco está em
. A linha que passa pelo vértice e pelo foco é chamada de eixo de simetria da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é a reta
.
Passo 4
A diretriz deve ser uma reta perpendicular ao eixo de simetria e afasta-se do vértice na mesma distância que o foco, mas do lado oposto. Como o eixo de simetria tem inclinação 1 (reta
), a diretriz terá inclinação -1, então sua equação geral é
.
Passo 5
Vamos encontrar o valor de
. A distância do vértice ao foco é
. Como a diretriz está a essa mesma distância do vértice, podemos calcular:
Então,
(pois o foco está do lado oposto da diretriz). Portanto, a equação da diretriz é
.
Passo 6
Agora, usamos a definição da parábola: a distância de um ponto qualquer
na parábola ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz.
Passo 7
Vamos simplificar essa equação elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Passo 8
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
Simplificando:
Resposta
A equação da parábola com foco em
e vértice em
é:
Exercícios relacionados
Escreva a equação da elipse de focos
e
sabendo que um de seus vértices é a origem e que
.
Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são
e
sabendo que um de seus vértices é o ponto
.
Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b)
b)
Deduza uma equação da parábola
a) de foco e diretriz
;
a) de foco