Deduza uma equação da parábola
c) de foco F1(1,1) e vértice (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa deduzir a equação de uma parábola que tem o foco em e o vértice na origem, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a definição de parábola baseada na distância do ponto ao foco e à diretrix.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. Nosso objetivo é encontrar a equação que representa essa relação.

Passo 3

Sabemos que o vértice está no ponto e o foco está em . A linha que passa pelo vértice e pelo foco é chamada de eixo de simetria da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é a reta .

Passo 4

A diretriz deve ser uma reta perpendicular ao eixo de simetria e afasta-se do vértice na mesma distância que o foco, mas do lado oposto. Como o eixo de simetria tem inclinação 1 (reta ), a diretriz terá inclinação -1, então sua equação geral é .

Passo 5

Vamos encontrar o valor de |0 - 0 + c|raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . A distância do vértice ao foco é |c|raiz2 = raiz2 Rightarrow |c| = 2 . Como a diretriz está a essa mesma distância do vértice, podemos calcular:
Então, (pois o foco está do lado oposto da diretriz). Portanto, a equação da diretriz é .

Passo 6

Agora, usamos a definição da parábola: a distância de um ponto qualquer raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = |y + x + 2|raiz2 na parábola ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz.

Passo 7

Vamos simplificar essa equação elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (x + y + 2)^22
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
2(x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 - 2y + 1) = (x + y + 2)^2
2x^2 - 4x + 2 + 2y^2 - 4y + 2 = x^2 + 2xy + y^2 + 4x + 4y + 4

Passo 8

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da equação:
2x^2 - 4x + 2y^2 - 4y + 4 - x^2 - 2xy - y^2 - 4x - 4y - 4 = 0
Simplificando:
x^2 - 8x + y^2 - 8y - 2xy = 0

Resposta

A equação da parábola com foco em x^2 - 8x + y^2 - 8y - 2xy = 0 e vértice em é:

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b) y=x^2
Deduza uma equação da parábola
a) de foco F1(0,-1) e diretriz y=1;