Deduza uma equação da parábola
a) de foco
e diretriz
;
a) de foco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa deduzir a equação de uma parábola sabendo que ela tem um foco em
e uma diretriz na reta
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre os elementos que definem uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Então, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância do ponto
até o foco
:
Essa é a distância do ponto
até o foco.
Passo 4
Agora, a distância do ponto
até a diretriz
é simplesmente a distância vertical, já que a diretriz é uma linha horizontal. A distância é:
Passo 5
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, vamos igualar as duas expressões:
Passo 6
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
Passo 8
Vamos simplificar a equação cancelando os termos iguais dos dois lados:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para deixar a equação na forma padrão da parábola:
Resposta
A equação da parábola com foco em
e diretriz
é:
Exercícios relacionados
Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b)
b)
Deduza uma equação da parábola
c) de foco e vértice
.
c) de foco
Deduza uma equação da parábola
b) de foco e vértice
;
b) de foco
Determine uma equação da circunferência:
b) com centro em e contendo o ponto
b) com centro em