Deduza uma equação da parábola
a) de foco F1(0,-1) e diretriz y=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa deduzir a equação de uma parábola sabendo que ela tem um foco em e uma diretriz na reta . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre os elementos que definem uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo, chamado foco, e de uma reta fixa, chamada diretriz. Então, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para calcular a distância do ponto d(P, F1) = raiz(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = raizx^2 + (y + 1)^2 até o foco :
Essa é a distância do ponto até o foco.

Passo 4

Agora, a distância do ponto d(P, diretriz) = |y - 1| até a diretriz é simplesmente a distância vertical, já que a diretriz é uma linha horizontal. A distância é:

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, vamos igualar as duas expressões:
raizx^2 + (y + 1)^2 = |y - 1|

Passo 6

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y + 1)^2 = (y - 1)^2

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
x^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 2y + 1

Passo 8

Vamos simplificar a equação cancelando os termos iguais dos dois lados:
x^2 + 2y = -2y
x^2 + 4y = 0

Passo 9

Finalmente, isolamos y = -14x^2 para deixar a equação na forma padrão da parábola:

Resposta

A equação da parábola com foco em y = -14x^2 e diretriz é:

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Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b) y=x^2
Deduza uma equação da parábola
c) de foco F1(1,1) e vértice (0,0).
Deduza uma equação da parábola
b) de foco F1(-1,0) e vértice (0,0);
Determine uma equação da circunferência:
b) com centro em (0,2) e contendo o ponto (-1,1)