Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b) y=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice é o ponto onde a parábola muda de direção. Para a equação , podemos ver que ela está na forma padrão , onde , e . O vértice dessa parábola está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação da parábola na forma canônica, que facilita a identificação dos elementos da parábola. A forma canônica de uma parábola que abre para cima ou para baixo é , onde é o vértice. No nosso caso, a equação já está na forma canônica com e , então a equação permanece .

Passo 4

Para encontrar o foco da parábola, usamos a fórmula 1 = 14p implies 4p = 1 implies p = 14 , onde é a distância do vértice ao foco. Sabemos que , então:
Como a parábola abre para cima, o foco está a unidades acima do vértice. Portanto, o foco está em .

Passo 5

A equação da diretriz é uma linha horizontal que fica a mesma distância y = k - p = 0 - 14 = -14 do vértice, mas na direção oposta do foco. Como o foco está acima do vértice, a diretriz estará abaixo. Então, a equação da diretriz é:
Portanto, a equação da diretriz é .

Passo 6

Para esboçar a parábola , plote o vértice em , o foco em e a diretriz como uma linha reta horizontal em . A parábola será simétrica em relação ao eixo y, abrindo para cima, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz conforme se afasta do vértice.

Resposta

Para a parábola :
  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da Diretriz:
  • Esboço: Uma parábola simétrica em relação ao eixo y, com vértice na origem, abrindo para cima, foco em e diretriz na linha .

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