Determine os focos, o vértice, a equação de diretriz e esboce as parábolas cujas equações são:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e fazer um esboço dessa parábola. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice é o ponto onde a parábola muda de direção. Para a equação
, podemos ver que ela está na forma padrão
, onde
,
e
. O vértice dessa parábola está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação da parábola na forma canônica, que facilita a identificação dos elementos da parábola. A forma canônica de uma parábola que abre para cima ou para baixo é
, onde
é o vértice. No nosso caso, a equação já está na forma canônica com
e
, então a equação permanece
.
Passo 4
Para encontrar o foco da parábola, usamos a fórmula
, onde
é a distância do vértice ao foco. Sabemos que
, então:
Como a parábola abre para cima, o foco está a
unidades acima do vértice. Portanto, o foco está em
.
Passo 5
A equação da diretriz é uma linha horizontal que fica a mesma distância
do vértice, mas na direção oposta do foco. Como o foco está acima do vértice, a diretriz estará abaixo. Então, a equação da diretriz é:
Portanto, a equação da diretriz é
.
Passo 6
Para esboçar a parábola
, plote o vértice em
, o foco em
e a diretriz como uma linha reta horizontal em
. A parábola será simétrica em relação ao eixo y, abrindo para cima, passando pelo vértice e aproximando-se da diretriz conforme se afasta do vértice.
Resposta
Para a parábola
:
- Vértice:
- Foco:
- Equação da Diretriz:
- Esboço: Uma parábola simétrica em relação ao eixo y, com vértice na origem, abrindo para cima, foco em
e diretriz na linha .