Determine uma equação da circunferência:
b) com centro em (0,2) e contendo o ponto (-1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que tem o centro no ponto (0,2) e passa pelo ponto (-1,1). Vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente a equação da circunferência. Para resolver isso, vamos precisar saber como escrever a equação geral de uma circunferência e como calcular o raio usando a distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da equação de uma circunferência. Se o centro da circunferência é (h, k) e o raio é r, a equação fica assim:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
No nosso caso, o centro é (0,2), então h = 0 e k = 2. Substituindo na fórmula, temos:
(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = r^2
Ou seja:
x^2 + (y - 2)^2 = r^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor do raio r. Sabemos que o ponto (-1,1) está na circunferência, então a distância entre esse ponto e o centro (0,2) é igual ao raio. Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aqui, (x1, y1) = (0,2) e (x2, y2) = (-1,1). Vamos calcular:
d = raiz(-1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então, o raio r é igual a raiz2.

Passo 4

Agora que já temos o valor do raio, vamos substituir na equação da circunferência que montamos no Passo 2:
x^2 + (y - 2)^2 = (raiz2)^2
Sabendo que (raiz2)^2 = 2, a equação fica:
x^2 + (y - 2)^2 = 2

Resposta

A equação da circunferência é:
x^2 + (y - 2)^2 = 2

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