Deduza as equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, no caso dinâmico:
onde e são as acelerações nas direções e , respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para deduzir as equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões no caso dinâmico. Isso está relacionado à mecânica dos sólidos e mais especificamente à equilíbrio de forças em um corpo que está se movendo ou acelerando. Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões internas e as forças externas se relacionam com a aceleração do corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica dos sólidos, as equações de equilíbrio são baseadas na segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. No caso de um corpo contínuo, como um sólido, essas forças incluem não só as externas, mas também as internas que vêm das tensões no material.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de área dentro do sólido, nas direções e . As tensões internas , e atuam nas faces desse elemento. Além disso, temos forças externas por unidade de volume, chamadas de forças de corpo, denotadas por e nas direções e , respectivamente.

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para esse elemento. Para a direção , a soma das forças internas na direção é dada pela derivada da tensão em relação a mais a derivada da tensão em relação a . Essa soma mais a força de corpo deve ser igual à massa por unidade de volume vezes a aceleração na direção .
Matematicamente:

Passo 5

De maneira semelhante, fazemos o mesmo para a direção . As forças internas na direção são dadas pela derivada da tensão em relação a mais a derivada da tensão em relação a . Essa soma mais a força de corpo deve ser igual à massa por unidade de volume vezes a aceleração na direção .
Matematicamente:

Resposta

As equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões no caso dinâmico são:
e

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