Deduza as equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, no caso dinâmico:
onde
e
são as acelerações nas direções
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para deduzir as equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões no caso dinâmico. Isso está relacionado à mecânica dos sólidos e mais especificamente à equilíbrio de forças em um corpo que está se movendo ou acelerando. Para resolver isso, vamos precisar entender como as tensões internas e as forças externas se relacionam com a aceleração do corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica dos sólidos, as equações de equilíbrio são baseadas na segunda lei de Newton, que diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. No caso de um corpo contínuo, como um sólido, essas forças incluem não só as externas, mas também as internas que vêm das tensões no material.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de área dentro do sólido, nas direções
e
. As tensões internas
,
e
atuam nas faces desse elemento. Além disso, temos forças externas por unidade de volume, chamadas de forças de corpo, denotadas por
e
nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para esse elemento. Para a direção
, a soma das forças internas na direção
é dada pela derivada da tensão
em relação a
mais a derivada da tensão
em relação a
. Essa soma mais a força de corpo
deve ser igual à massa por unidade de volume
vezes a aceleração
na direção
.
Matematicamente:
Passo 5
De maneira semelhante, fazemos o mesmo para a direção
. As forças internas na direção
são dadas pela derivada da tensão
em relação a
mais a derivada da tensão
em relação a
. Essa soma mais a força de corpo
deve ser igual à massa por unidade de volume
vezes a aceleração
na direção
.
Matematicamente:
Resposta
As equações de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões no caso dinâmico são:
e