No ponto crítico de um reservatório, o estado de tensões para um sistema de coordenadas escolhido é dado pelo tensor abaixo.Calcule o valor de para este sistema. Depois mostre que quando alinhado com as direções principais o tensor fornece o mesmo valor para .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre tensões em um ponto crítico de um reservatório, utilizando um tensor de tensões em um sistema de coordenadas . O que precisamos calcular é o valor de para esse tensor. Além disso, vamos verificar que, quando alinhamos o sistema com as direções principais, o valor de continua o mesmo. Para isso, vamos usar conceitos de tensores de tensão e invariantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes do tensor de tensões fornecido:
Aqui, , e .
Passo 3
Vamos calcular o invariante , que é a soma das tensões normais nas direções , e :
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que, quando o tensor de tensões está alinhado com as direções principais, o valor de permanece o mesmo. As direções principais são aquelas onde o tensor de tensões é diagonal, ou seja, sem tensões cortantes ().
Quando o tensor está alinhado com as direções principais, ele fica assim:
Aqui, , , e são as tensões principais.
Passo 5
Vamos calcular para o tensor alinhado com as direções principais:
Sabemos que os invariantes de tensões, como , são independentes da orientação do sistema de coordenadas. Isso significa que mesmo que o tensor esteja alinhado com as direções principais, a soma das tensões principais será igual a calculado anteriormente.
Portanto:
Resposta
O valor de para o tensor de tensões dado é . Além disso, quando o tensor está alinhado com as direções principais, o valor de permanece , confirmando que é um invariante do tensor de tensões.