Em uma peça, as componentes de tensão
e
são constantes em todo o volume, sendo as demais tensões nulas, exceto
. Utilizando as equações de equilíbrio, e desconsiderando as forças de corpo, deduza qual deve ser o comportamento de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma peça onde algumas componentes de tensão são constantes em todo o volume:
,
e
. As outras tensões são nulas, exceto
. A gente precisa usar as equações de equilíbrio, ignorar as forças de corpo e descobrir como
se comporta. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de equilíbrio estático na mecânica dos sólidos e aplicar essas equações às tensões dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de equilíbrio para um estado de tensão em equilíbrio sem forças de corpo. Em coordenadas cartesianas, as equações de equilíbrio são:
Como as tensões são constantes no volume, as derivadas parciais de todas as componentes de tensão em relação a qualquer coordenada (
,
,
) serão zero. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas condições nas equações de equilíbrio que escrevemos. Vamos olhar para cada uma delas:
- Primeira equação de equilíbrio:
Como todas as derivadas são zero:
- Segunda equação de equilíbrio:
Substituindo as derivadas:
Ou seja,
- Terceira equação de equilíbrio:
Substituindo as derivadas:
Passo 4
Focando na segunda equação, já vimos que:
Isso significa que a derivada da tensão
em relação a
é zero. O que isso nos diz? Se a derivada de uma função em relação a uma variável é zero, então a função é constante em relação a essa variável.
Portanto,
Resposta
A componente de tensão
é constante em todo o volume da peça.