Em uma peça, as componentes de tensão sigmax x, sigmaz z e sigmax y são constantes em todo o volume, sendo as demais tensões nulas, exceto sigmay y. Utilizando as equações de equilíbrio, e desconsiderando as forças de corpo, deduza qual deve ser o comportamento de sigmay y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma peça onde algumas componentes de tensão são constantes em todo o volume: sigmaxx, sigmazz e sigmaxy. As outras tensões são nulas, exceto sigmayy. A gente precisa usar as equações de equilíbrio, ignorar as forças de corpo e descobrir como sigmayy se comporta. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações de equilíbrio estático na mecânica dos sólidos e aplicar essas equações às tensões dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as equações de equilíbrio para um estado de tensão em equilíbrio sem forças de corpo. Em coordenadas cartesianas, as equações de equilíbrio são:
partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y + partial sigmaxzpartial z = 0
partial sigmayxpartial x + partial sigmayypartial y + partial sigmayzpartial z = 0
partial sigmazxpartial x + partial sigmazypartial y + partial sigmazzpartial z = 0
Como as tensões são constantes no volume, as derivadas parciais de todas as componentes de tensão em relação a qualquer coordenada ( x, y, z) serão zero. Ou seja:
partial sigmaxxpartial x = partial sigmaxypartial y = partial sigmaxzpartial z = 0
partial sigmayxpartial x = partial sigmayypartial y = partial sigmayzpartial z = 0
partial sigmazxpartial x = partial sigmazypartial y = partial sigmazzpartial z = 0

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas condições nas equações de equilíbrio que escrevemos. Vamos olhar para cada uma delas:
  1. Primeira equação de equilíbrio:
partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y + partial sigmaxzpartial z = 0
Como todas as derivadas são zero:
0 + 0 + 0 = 0 (Verdade)
  1. Segunda equação de equilíbrio:
partial sigmayxpartial x + partial sigmayypartial y + partial sigmayzpartial z = 0
Substituindo as derivadas:
0 + partial sigmayypartial y + 0 = 0
Ou seja,
partial sigmayypartial y = 0
  1. Terceira equação de equilíbrio:
partial sigmazxpartial x + partial sigmazypartial y + partial sigmazzpartial z = 0
Substituindo as derivadas:
0 + 0 + 0 = 0 (Verdade)

Passo 4

Focando na segunda equação, já vimos que:
partial sigmayypartial y = 0
Isso significa que a derivada da tensão sigmayy em relação a y é zero. O que isso nos diz? Se a derivada de uma função em relação a uma variável é zero, então a função é constante em relação a essa variável.
Portanto,
sigmayy = constante

Resposta

A componente de tensão sigmayy é constante em todo o volume da peça.

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