Deduza e explique como chegar as equações que descrevem um cone.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos deduzir e explicar as equações que descrevem um cone. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, focando nas coordenadas cartesianas e na definição geométrica de um cone.
Passo 2
Vamos começar lembrando que um cone é uma superfície gerada pela rotação de uma linha reta em torno de um eixo fixo, de tal forma que a linha reta passa por um ponto fixo chamado vértice. No caso mais simples, consideramos um cone com o vértice na origem e simétrico em relação ao eixo .
Passo 3
Para encontrar a equação de um cone, precisamos relacionar as coordenadas , e que satisfazem essa superfície. Considerando um cone simétrico com vértice na origem e alinhado ao eixo , vamos relacionar a distância radial no plano com a altura .
Passo 4
No plano , a distância radial é dada por:
Em um cone, essa distância está relacionada à altura através de um ângulo de abertura constante . A relação geométrica é:
Substituindo :
Passo 5
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
Essa é a equação geral de um cone com vértice na origem, alinhado ao eixo , e com ângulo de abertura .
Passo 6
Se considerarmos um cone com ângulo de abertura de , onde , a equação simplifica para:
Resposta
A equação que descreve um cone simétrico com vértice na origem e alinhado ao eixo é:
Para um cone com ângulo de abertura de , a equação fica ainda mais simples: