Deduza e explique como chegar as equações que descrevem um cone.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos deduzir e explicar as equações que descrevem um cone. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, focando nas coordenadas cartesianas e na definição geométrica de um cone.

Passo 2

Vamos começar lembrando que um cone é uma superfície gerada pela rotação de uma linha reta em torno de um eixo fixo, de tal forma que a linha reta passa por um ponto fixo chamado vértice. No caso mais simples, consideramos um cone com o vértice na origem e simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Para encontrar a equação de um cone, precisamos relacionar as coordenadas , e que satisfazem essa superfície. Considerando um cone simétrico com vértice na origem e alinhado ao eixo , vamos relacionar a distância radial no plano com a altura .

Passo 4

No plano r = raizx^2 + y^2 , a distância radial r = z cdot tan(theta) é dada por:
raizx^2 + y^2 = z cdot tan(theta)
Em um cone, essa distância está relacionada à altura através de um ângulo de abertura constante . A relação geométrica é:
Substituindo :

Passo 5

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado:
x^2 + y^2 = z^2 cdot tan^2(theta)
Essa é a equação geral de um cone com vértice na origem, alinhado ao eixo , e com ângulo de abertura .

Passo 6

Se considerarmos um cone com ângulo de abertura de x^2 + y^2 = z^2 , onde , a equação simplifica para:

Resposta

A equação que descreve um cone simétrico com vértice na origem e alinhado ao eixo x^2 + y^2 = z^2 cdot tan^2(theta) é:
x^2 + y^2 = z^2
Para um cone com ângulo de abertura de , a equação fica ainda mais simples:

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