Responda ou , justificando:
(b) Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para responder se existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em . Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes em um espaço de dimensão 17.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial como , a dimensão é 17. Isso significa que o máximo de vetores linearmente independentes que podemos ter nesse espaço também é 17. Se tivermos mais de 17 vetores, eles necessariamente serão linearmente dependentes.
Passo 3
Agora, como estamos perguntando se existe um conjunto de exatamente 17 vetores que sejam linearmente independentes, isso está diretamente ligado à ideia de que esses 17 vetores podem formar uma base para . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Passo 4
Como tem dimensão 17, sabemos que existem conjuntos de 17 vetores que são linearmente independentes. Por exemplo, o conjunto das {vetores canônicos}, onde cada vetor tem um 1 em uma posição e 0 nas outras, é um exemplo clássico de um conjunto linearmente independente com 17 vetores em .
Resposta
Verdadeiro. Existe um conjunto de 17 vetores linearmente independentes em .