Qual dos vetores coordenadas dado a seguir representa o vetor: v(x)=a x^2+b x+c na base A=1,1-x, 1+x^2 de P2 ?
a) [v]A=(c+b-a,-b, a)
b) [v]A=(a,-b, c+b-a)
c) [v]A=(a, b, c)

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para identificar qual das opções representa o vetor na base do espaço dos polinômios de grau 2, . Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de bases e coordenadas em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, entendemos que para encontrar as coordenadas de v(x) = alpha cdot 1 + beta cdot (1 - x) + gamma cdot (1 + x^2) na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, buscamos escalares , e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a expressão:
a x^2 + b x + c = alpha cdot 1 + beta cdot (1 - x) + gamma cdot (1 + x^2)
Distribuindo os coeficientes:
a x^2 + b x + c = alpha + beta - beta x + gamma + gamma x^2

Passo 4

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
a x^2 + b x + c = (alpha + beta + gamma) + (-beta) x + (gamma) x^2

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais para todo gamma = a -beta = b alpha + beta + gamma = c , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, estabelecemos um sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. De alpha - b + a = c implies alpha = c + b - a , já temos .
  2. De , obtemos .
  3. Substituindo e na terceira equação:

Passo 7

Assim, os coeficientes são:
alpha = c + b - a, beta = -b, gamma = a
Portanto, o vetor coordenado de [v]A = (c + b - a, -b, a) na base é:

Resposta

A alternativa correta é a) .

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