Qual dos vetores coordenadas dado a seguir representa o vetor: na base de ?
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver a questão que pede para identificar qual das opções representa o vetor na base do espaço dos polinômios de grau 2, . Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de bases e coordenadas em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, entendemos que para encontrar as coordenadas de na base , precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, buscamos escalares , e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 4
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, estabelecemos um sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
De alpha - b + a = c implies alpha = c + b - a , já temos .
De , obtemos .
Substituindo e na terceira equação:
Passo 7
Assim, os coeficientes são:
alpha = c + b - a, beta = -b, gamma = a
Portanto, o vetor coordenado de [v]A = (c + b - a, -b, a) na base é: