Deduza a expressão para a aceleração vetorial da partícula em função do tempo.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma partícula em movimento e queremos encontrar a expressão da aceleração vetorial dela em função do tempo. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade vetorial é a taxa de variação do espaço vetorial (posição) em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da posição em relação ao tempo:
Onde:
-
é a velocidade vetorial em função do tempo. -
é a posição vetorial em função do tempo. -
é o tempo.
Passo 3
Agora, a aceleração vetorial é a taxa de variação da velocidade vetorial em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos no Passo 2, temos:
Isso significa que a aceleração vetorial é a segunda derivada da posição vetorial em relação ao tempo.
Passo 4
Para deduzir a expressão geral da aceleração vetorial, vamos considerar que a posição vetorial
pode ser expressa em componentes nas direções
,
e
(eixos x, y e z). Assim:
Derivando essa expressão em relação ao tempo, obtemos a velocidade:
E derivando novamente, obtemos a aceleração:
Resposta
A expressão para a aceleração vetorial da partícula em função do tempo é:
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