Deduza a expressão para a aceleração vetorial da partícula em função do tempo.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma partícula em movimento e queremos encontrar a expressão da aceleração vetorial dela em função do tempo. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem considerar suas causas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a velocidade vetorial é a taxa de variação do espaço vetorial (posição) em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt
Onde:
  • v(t) é a velocidade vetorial em função do tempo.
  • r(t) é a posição vetorial em função do tempo.
  • t é o tempo.

Passo 3

Agora, a aceleração vetorial é a taxa de variação da velocidade vetorial em relação ao tempo. Ou seja, é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos no Passo 2, temos:
a(t) = ddt(dr(t)dt) = d^2r(t)dt^2
Isso significa que a aceleração vetorial é a segunda derivada da posição vetorial em relação ao tempo.

Passo 4

Para deduzir a expressão geral da aceleração vetorial, vamos considerar que a posição vetorial r(t) pode ser expressa em componentes nas direções i, j e k (eixos x, y e z). Assim:
r(t) = x(t), i + y(t), j + z(t), k
Derivando essa expressão em relação ao tempo, obtemos a velocidade:
v(t) = dx(t)dt, i + dy(t)dt, j + dz(t)dt, k
E derivando novamente, obtemos a aceleração:
a(t) = d^2x(t)dt^2, i + d^2y(t)dt^2, j + d^2z(t)dt^2, k

Resposta

A expressão para a aceleração vetorial da partícula em função do tempo é:
a(t) = d^2x(t)dt^2, i + d^2y(t)dt^2, j + d^2z(t)dt^2, k

Exercícios relacionados