Escreva o módulo da aceleração em função da velocidade angular e da velocidade escalar da partícula (discuta se ele varia com o tempo). Qual é a direção da aceleração vetorial obtida (discuta se ela varia com o tempo)?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) da aceleração de uma partícula em termos da velocidade angular e da velocidade escalar . Além disso, precisamos discutir se essa aceleração varia com o tempo e determinar a direção da aceleração vetorial obtida, também discutindo se ela muda com o tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento circular e decomposição da aceleração em componentes radial e tangencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um movimento circular, a aceleração total da partícula pode ser decomposta em duas partes: a aceleração centrípeta (radial) e a aceleração tangencial. A aceleração centrípeta é responsável por manter a partícula no caminho circular e aponta para o centro da trajetória. Já a aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade escalar da partícula ao longo do caminho.

Passo 3

A aceleração centrípeta ( ) é dada pela fórmula:
onde é a velocidade angular e é o raio da trajetória. Contudo, como a velocidade escalar está relacionada à velocidade angular pela equação , podemos substituir na fórmula da aceleração centrípeta:
Portanto, a aceleração centrípeta é igual ao produto da velocidade angular pela velocidade escalar.

Passo 4

Agora, consideramos a aceleração tangencial ( ). Se a velocidade escalar está aumentando ou diminuindo, há uma aceleração tangencial. A aceleração total ( ) é então a combinação vetorial dessas duas acelerações:
Mas, se a velocidade escalar não está variando (movimento circular uniforme), a aceleração tangencial é zero, e a aceleração total é apenas a aceleração centrípeta:

Passo 5

Sobre a variação com o tempo: se ou estiverem mudando com o tempo, então a aceleração centrípeta também variará com o tempo. Além disso, se houver aceleração tangencial, isso também indicaria uma variação no tempo da velocidade.

Passo 6

Quanto à direção da aceleração vetorial: a aceleração centrípeta sempre aponta para o centro do círculo, mantendo a partícula em movimento circular. Se houver aceleração tangencial, ela aponta na direção do movimento (se a velocidade está aumentando) ou na direção oposta (se a velocidade está diminuindo). Portanto, a direção da aceleração pode variar com o tempo se a velocidade estiver mudando.

Resposta

O módulo da aceleração é dado por . Essa aceleração pode variar com o tempo se ou variarem. A direção da aceleração vetorial está sempre apontando para o centro da trajetória (aceleração centrípeta) e pode mudar com o tempo caso haja variação na velocidade da partícula.

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