Deduza a expressão para
e
para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma
. Resp:
e
.
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre as expressões para a velocidade
e a posição
de um corpo que tá se movendo em uma superfície horizontal e sofre uma força de arrasto quadrática, ou seja, que depende do quadrado da velocidade. Isso envolve conceitos de dinâmica e equações diferenciais. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de resolução de equações diferenciais para chegar nas fórmulas finais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual à massa
vezes a aceleração
:
Nesse caso, a única força que atua é a força de arrasto, que é
(o sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento).
Passo 3
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo na segunda lei de Newton, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar para integrar:
Integrando os dois lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, simplificamos a equação:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Então, a expressão fica:
Invertendo ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade:
Fazendo a substituição
, temos
ou
:
Substituindo de volta
:
Usando a condição inicial
, encontramos
:
Podemos reescrever isso usando
:
Resposta
As expressões deduzidas são:
e
onde
.