Deduza a expressão para e para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma . Resp: e . , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre as expressões para a velocidade e a posição de um corpo que tá se movendo em uma superfície horizontal e sofre uma força de arrasto quadrática, ou seja, que depende do quadrado da velocidade. Isso envolve conceitos de dinâmica e equações diferenciais. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de resolução de equações diferenciais para chegar nas fórmulas finais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração :
Nesse caso, a única força que atua é a força de arrasto, que é (o sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento).

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo na segunda lei de Newton, temos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar para integrar:
Integrando os dois lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para . Primeiro, simplificamos a equação:
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Então, a expressão fica:
Invertendo ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar . Sabemos que a posição é a integral da velocidade:
Fazendo a substituição , temos ou :
Substituindo de volta :
Usando a condição inicial , encontramos :
Podemos reescrever isso usando :

Resposta

As expressões deduzidas são:
e
onde .

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