Deduza a expressão para v(t) e x(t) para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma |f|=cv^2. Resp: v(t)=v0 /(1+c v0 t / m) e x(t)=v0. T cdot ln (1+t / T), onde T=m / c v0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente encontre as expressões para a velocidade e a posição de um corpo que tá se movendo em uma superfície horizontal e sofre uma força de arrasto quadrática, ou seja, que depende do quadrado da velocidade. Isso envolve conceitos de dinâmica e equações diferenciais. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e técnicas de resolução de equações diferenciais para chegar nas fórmulas finais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F = m cdot a é igual à massa vezes a aceleração :
Nesse caso, a única força que atua é a força de arrasto, que é (o sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento).

Passo 3

A aceleração a = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
-m c v^2 = m cdot dvdt
Substituindo na segunda lei de Newton, temos:
dvdt = -c v^2
Simplificando, fica:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver separando as variáveis. Vamos rearranjar para integrar:
dvv^2 = -c , dt
Integrando os dois lados:
integral dvv^2 = -c integral dt
Isso resulta em:
-1v = -c t + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para 1v = c t + C . Primeiro, simplificamos a equação:
1v0 = c cdot 0 + C Rightarrow C = 1v0
Para encontrar a constante 1v = c t + 1v0 , usamos a condição inicial v(t) = v01 + c v0 t :
Então, a expressão fica:
Invertendo ambos os lados:

Passo 6

Agora que temos x(t) = integral v(t) , dt = integral v01 + c v0 t , dt , vamos encontrar x(t) = v0c v0 integral 1u , du = 1c ln|u| + C' . Sabemos que a posição é a integral da velocidade:
x(t) = 1c ln(1 + c v0 t) + C'
Fazendo a substituição x(t) = 1c ln(1 + c v0 t) , temos x(t) = T cdot ln(1 + tT) ou :
Substituindo de volta :
Usando a condição inicial , encontramos :
Podemos reescrever isso usando :

Resposta

As expressões deduzidas são:
v(t) = v01 + c v0 t / m
e
x(t) = v0 cdot T cdot ln(1 + tT),
onde .

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