Deduza a expressão parao momento de inércia de um aro de massa M e raio R em relação a seu eixo central:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a expressão do momento de inércia de um aro com massa e raio em relação ao seu eixo central. Isso tá ligado à física de rotação, especificamente no estudo do momento de inércia, que nos diz como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) mede a resistência de um objeto à mudança no seu estado de rotação. Para um aro, toda a massa está distribuída à mesma distância do eixo central.

Passo 3

A fórmula geral do momento de inércia é:
I = integral r^2 , dm
Onde:
  • é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação.

Passo 4

No caso do aro, cada pedacinho da massa está exatamente a uma distância do eixo. Então, para todo o aro.

Passo 5

Substituindo I = integral R^2 , dm na integral, temos:
I = R^2 integral dm
Como é constante, podemos tirar da integral:

Passo 6

A integral representa a soma de todas as massas do aro, ou seja, a massa total .

Passo 7

Então:
I = R^2 cdot M

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao seu eixo central é .

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