Deduza a expressão parao momento de inércia de um aro de massa
e raio
em relação a seu eixo central:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a expressão do momento de inércia de um aro com massa
e raio
em relação ao seu eixo central. Isso tá ligado à física de rotação, especificamente no estudo do momento de inércia, que nos diz como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) mede a resistência de um objeto à mudança no seu estado de rotação. Para um aro, toda a massa está distribuída à mesma distância
do eixo central.
Passo 3
A fórmula geral do momento de inércia é:
Onde:
-
é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação.
Passo 4
No caso do aro, cada pedacinho da massa está exatamente a uma distância
do eixo. Então,
para todo o aro.
Passo 5
Substituindo
na integral, temos:
Como
é constante, podemos tirar da integral:
Passo 6
A integral
representa a soma de todas as massas do aro, ou seja, a massa total
.
Passo 7
Então:
Resposta
O momento de inércia do aro em relação ao seu eixo central é
.
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(
).
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até
.