Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular constante, até alcançar a rotação de 20 pi (rad/s). Depois de completar 120 pi (rad), a sua velocidade angular é de 30 pi ( rad / s ).
(d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 20 pi(rad / s).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um disco que começa parado e começa a girar com uma aceleração angular constante até atingir uma velocidade de . Depois, ele gira mais e sua velocidade passa para . A gente precisa descobrir quantas voltas o disco deu desde o início até chegar nos .
Vamos precisar usar conceitos de Cinemática Angular, que trata do movimento de rotação, similar à cinemática linear que estuda movimentos retilíneos. As fórmulas que vamos usar envolvem velocidade angular, aceleração angular e deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis que já conhecemos:
  • Velocidade angular inicial ( ): 0 rad/s (porque o disco parte do repouso).
  • Velocidade angular final ( ): .
  • Deslocamento angular ( ): .
  • Nova velocidade angular ( ): .
Queremos encontrar o deslocamento angular ( ) desde o repouso até .

Passo 3

Vamos usar a segunda equação de movimento para rotação, que relaciona as velocidades angulares, a aceleração angular e o deslocamento angular:
omega^2 = omega0^2 + 2alphatheta
Onde:
  • omega^2 = 2alphatheta é a velocidade angular final,
  • é a velocidade angular inicial,
  • é a aceleração angular,
  • é o deslocamento angular.
Como o disco parte do repouso, , então a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para a segunda fase do movimento, onde o disco vai de omega2^2 = omega1^2 + 2alphatheta2 para (30pi)^2 = (20pi)^2 + 2alpha(120pi) com um deslocamento de 900pi^2 = 400pi^2 + 240pialpha .
Substituindo na equação:
Calculando os quadrados:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 900pi^2 - 400pi^2 = 240pialpha :
500pi^2 = 240pialpha
alpha = 500pi^2240pi = 500pi240 = 25pi12 , rad/s^2
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Agora que temos a aceleração angular ( omega1^2 = 2alphatheta1 ), podemos calcular o deslocamento angular (20pi)^2 = 2 times 25pi12 times theta1 desde o repouso até 400pi^2 = 50pi12 times theta1 usando a mesma equação:
Substituindo os valores:
Calculando os quadrados:

Passo 7

Resolvendo para theta1 = 400pi^2 times 1250pi = 4800pi^250pi = 4800pi50 = 96pi , rad :

Passo 8

Agora, queremos saber quantas voltas isso representa. Sabemos que uma volta completa corresponde a N = theta12pi = 96pi2pi = 48 radianos. Então, o número de voltas ( ) é:

Resposta

O número de revoluções desde o repouso até a velocidade de é 48 revoluções.

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