Uma esfera é arremessada do solo para o ar. A uma altura de , observa-se uma velocidade ( é o eixo horizontal e y é o eixo vertical, para cima). © Qual é a velocidade da esfera (intensidade e direção) um instante antes de ela atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que foi arremessada para o alto a partir do solo. Quando ela está a uma altura de , sua velocidade é dada pela vetora . Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade da esfera, tanto em termos de intensidade quanto de direção, um instante antes dela bater no chão.
Vamos precisar usar conceitos de movimentos vetoriais e cinemática, especialmente sobre como os componentes horizontal e vertical da velocidade se comportam quando um objeto está em movimento sob a ação da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade da esfera nos eixos horizontal ( ) e vertical ( ). No movimento sem resistência do ar, a componente horizontal da velocidade permanece constante durante todo o trajeto. Isso significa que a velocidade horizontal quando a esfera foi arremessada será a mesma quando ela estiver voltando para o chão.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a componente vertical da velocidade. A gravidade atua na direção vertical, fazendo com que a velocidade vertical da esfera mude ao longo do tempo. Quando a esfera atinge a mesma altura de onde foi lançada (no caso, o solo), a velocidade vertical terá o mesmo valor que tinha no lançamento, mas com sinal oposto (porque a esfera está descendo).
Então, a velocidade vertical antes de bater no chão será:
(O sinal negativo indica que a direção é para baixo.)

Passo 4

Com as componentes horizontal e vertical da velocidade conhecidas, podemos agora calcular a intensidade total da velocidade da esfera usando o teorema de Pitágoras:
Vamos calcular:

Passo 5

Para encontrar a direção da velocidade, vamos calcular o ângulo que a velocidade forma com o eixo horizontal. Usamos a função tangente:
Agora, calculamos o ângulo:
Como a velocidade vertical é negativa, o ângulo está abaixo da horizontal.

Resposta

A velocidade da esfera um instante antes de atingir o solo tem uma intensidade de aproximadamente e está direcionada a abaixo da horizontal.

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