São adicionadas duas ondas harmônicas com amplitudes, períodos e comprimentos de onda idênticos, mas com constantes de fase diferentes. A onda resultante tem a metade da amplitude das ondas adicionadas. (a) Encontre a diferença de fase entre as duas ondas. (b) Qual será a intensidade da onda resultante em relação às ondas originais?

Passo 1

Então, a gente tem duas ondas harmônicas que têm a mesma amplitude, período e comprimento de onda, mas começam em fases diferentes. Quando a gente junta essas duas ondas, a onda resultante acaba tendo metade da amplitude das ondas originais. Vamos usar conceitos de superposição de ondas e interferência para descobrir qual é a diferença de fase entre elas e qual a intensidade da onda resultante comparada às ondas iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas se superpõem, suas amplitudes se somam. A amplitude da onda resultante depende da diferença de fase entre as ondas originais. A fórmula para a amplitude resultante AR = 2A cos(phi2) quando duas ondas com amplitude e diferença de fase são adicionadas é:

Passo 3

Sabemos que a amplitude resultante AR = A2 é metade da amplitude das ondas adicionadas, ou seja:
A2 = 2A cos(phi2)
Substituindo isso na fórmula da amplitude resultante:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar a diferença de fase 14 = cos(phi2) . Primeiro, dividimos os dois lados por phi2 = arccos(14) :
phi = 2 arccos(14)
Agora, tiramos o arco cosseno de ambos os lados:
Multiplicando por 2 para isolar :

Passo 5

Calculando o valor numérico de arccos(14) approx 1,318 , rad , temos aproximadamente:
phi approx 2 times 1,318 , rad approx 2,636 , rad
Então,

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos saber a intensidade da onda resultante em relação às ondas originais. A intensidade I propto A^2 de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude:
IR propto AR^2 = (A2)^2 = A^24
Para a onda resultante:

Passo 7

Comparando com a intensidade das ondas originais IRI = A^24A^2 = 14 , vemos que:

Resposta

(a) A diferença de fase entre as duas ondas é aproximadamente radianos.
(b) A intensidade da onda resultante é vezes a intensidade das ondas originais.

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