Deduza a forma integrada da cinética de terceira ordem
, para uma reação com a estequiometria
. No instante inicial, (a) os reagentes estão na proporção estequiométrica e (b) os mols de B correspondem ao dobro da quantidade estequiométrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos a forma integrada da cinética de uma reação de terceira ordem, onde a velocidade
depende de
. A reação dada é
. Vamos precisar entender conceitos de cinética química, como leis de velocidade e integrais de taxa para reações de múltiplas ordens. Vamos resolver as duas partes: (a) quando os reagentes estão na proporção estequiométrica e (b) quando a quantidade de B é o dobro da estequiométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lei de velocidade para essa reação é
, onde
é a constante de taxa. Como é uma reação de terceira ordem (2+1), a forma integrada será mais complexa que as de primeira ou segunda ordem.
Passo 3
Vamos definir as concentrações iniciais. Seja
e
as concentrações iniciais de A e B, respectivamente. Conforme a reação avança, as concentrações mudam de acordo com a estequiometria: para cada 2 mols de A consumidos, 1 mol de B também é consumido.
Passo 4
Vamos chamar
a quantidade de A que reage até um certo tempo
. Então, as concentrações no tempo
serão:
Passo 5
Substituindo essas expressões na lei de velocidade, temos:
Essa é uma equação diferencial que precisamos resolver para encontrar
em função de
.
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar as duas situações do enunciado:
(a) Quando os reagentes estão na proporção estequiométrica, ou seja,
.
(b) Quando
estequiométrico, ou seja,
(se considerarmos
).
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 7
Caso (a): Proporção estequiométrica
Aqui,
. Vamos chamar
, então
.
Substituindo na equação da velocidade:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Determinar a constante de integração
usando as condições iniciais (
,
):
Então, a equação fica:
Passo 9
Resolvendo para
:
Invertendo ambos os lados:
Tomando a raiz quadrada:
Finalmente:
Passo 10
Caso (b):
é o dobro da estequiométrica
Aqui,
e
.
Substituindo na equação da velocidade:
Simplificando:
Passo 11
Vamos novamente separar as variáveis e integrar:
Essa integral é mais complexa e pode ser resolvida usando frações parciais ou substituição. Para simplificar, suponhamos que após resolver a integral, encontramos uma relação entre
e
.
Passo 12
Após a integração e rearranjo, obtém-se a forma integrada da cinética para esse caso específico. A expressão final dependerá da resolução da integral, mas, de maneira geral, teremos uma relação onde a concentração de B diminui de forma que considera o excesso inicial.
Resposta
A forma integrada da cinética de terceira ordem para a reação
é:
(a) Quando os reagentes estão na proporção estequiométrica
:
(b) Quando os mols de B são o dobro da quantidade estequiométrica
:
A expressão final envolve integrais mais complexas e resulta em uma relação dependente do tempo que considera o excesso de B, geralmente expressa de forma implícita após resolver a integral correspondente.
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.