Deduza a fórmula

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma soma de potências de , que vai de até . Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a , com . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como somar uma progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma que queremos:
Aqui, representa a soma total dos termos da sequência.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa soma por . Isso vai nos ajudar a criar uma equação que podemos resolver:
Perceba que cada termo de foi multiplicado por , então o último termo agora é .

Passo 4

Em seguida, vamos subtrair a equação de da equação de :

Passo 5

Ao fazer essa subtração, quase todos os termos vão se cancelar:
Isso acontece porque todos os termos intermediários, como etc., se cancelam.

Passo 6

Agora, podemos fatorar do lado esquerdo da equação:
Isso simplifica a equação, isolando multiplicado por .

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, a soma é igual a , quando .

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Seja um polinomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que . Então, as soluções da equação
são números complexos com parte imaginária não nula. Se e são essas soluções, mostre que . Mais geralmente, se é um polinomio de grau arbitrário, com coeficientes reais, e se é tal que , então tem-se que .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
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