Deduza a fórmula
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma soma de potências de
, que vai de
até
. Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a
, com
. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como somar uma progressão geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma que queremos:
Aqui,
representa a soma total dos termos da sequência.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa soma
por
. Isso vai nos ajudar a criar uma equação que podemos resolver:
Perceba que cada termo de
foi multiplicado por
, então o último termo agora é
.
Passo 4
Em seguida, vamos subtrair a equação de
da equação de
:
Passo 5
Ao fazer essa subtração, quase todos os termos vão se cancelar:
Isso acontece porque todos os termos intermediários, como
etc., se cancelam.
Passo 6
Agora, podemos fatorar
do lado esquerdo da equação:
Isso simplifica a equação, isolando
multiplicado por
.
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, a soma
é igual a
, quando
.