Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor da função , centrado em e de grau . Para isso, vamos precisar do conceito de série de Taylor, que nos permite aproximar funções usando polinômios. Precisamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliá-las no ponto .

Passo 2

Lembramos que o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função centrado em é dado por:

Passo 3

Primeiro, calculamos . Como , temos:

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada :
Sabemos que . Então:

Passo 5

Calculamos a segunda derivada :
A derivada de ��:
Então,

Passo 6

Calculamos a terceira derivada :
A derivada de é:
Então,

Resposta

Substituindo os valores no polinômio de Taylor:
Simplificando:

Exercícios relacionados

Encontre todas as soluções das equações:
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Seja um polinomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que . Então, as soluções da equação
são números complexos com parte imaginária não nula. Se e são essas soluções, mostre que . Mais geralmente, se é um polinomio de grau arbitrário, com coeficientes reais, e se é tal que , então tem-se que .
Deduza a fórmula