Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor
da função
, centrado em
e de grau
. Para isso, vamos precisar do conceito de série de Taylor, que nos permite aproximar funções usando polinômios. Precisamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliá-las no ponto
.
Passo 2
Lembramos que o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função
centrado em
é dado por:
Passo 3
Primeiro, calculamos
. Como
, temos:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada
:
Sabemos que
. Então:
Passo 5
Calculamos a segunda derivada
:
A derivada de
��:
Então,
Passo 6
Calculamos a terceira derivada
:
A derivada de
é:
Então,
Resposta
Substituindo os valores no polinômio de Taylor:
Simplificando: