Encontre o polinômio de Taylor T_n(x) da função f centrada no número a. f(x) = sec(x), a = pi / 3, n = 3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o polinômio de Taylor da função , centrado em e de grau . Para isso, vamos precisar do conceito de série de Taylor, que nos permite aproximar funções usando polinômios. Precisamos calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliá-las no ponto .

Passo 2

Lembramos que o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função centrado em é dado por:

Passo 3

Primeiro, calculamos . Como , temos:

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada :
Sabemos que . Então:

Passo 5

Calculamos a segunda derivada :
A derivada de ��:
Então,

Passo 6

Calculamos a terceira derivada :
A derivada de é:
Então,

Resposta

Substituindo os valores no polinômio de Taylor:
Simplificando:

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