Seja um polinomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que . Então, as soluções da equação
são números complexos com parte imaginária não nula. Se e são essas soluções, mostre que . Mais geralmente, se é um polinomio de grau arbitrário, com coeficientes reais, e se é tal que , então tem-se que .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender os conceitos envolvidos.
Enunciado Resumido:
Temos um polinômio de segundo grau, , com coeficientes reais e discriminante . Isso significa que as soluções da equação são números complexos com parte imaginária diferente de zero. Se e são essas soluções, precisamos mostrar que , ou seja, é o conjugado de .
Conteúdo da Matéria:
  • Polinômios de grau 2
  • Soluções de equações quadráticas
  • Números complexos e seus conjugados
  • Propriedades das raízes de polinômios com coeficientes reais
O que vamos precisar:
  • Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de um polinômio quadrático
  • Conceito de número complexo e conjugado
  • Propriedades das equações polinomiais com coeficientes reais

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar as raízes de um polinômio de segundo grau . Utilizamos a fórmula de Bhaskara:
Onde é o discriminante.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Isso significa que a raiz quadrada de será um número imaginário, já que não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo nos números reais. Portanto, as soluções serão números complexos.
Podemos reescrever a expressão sob a raiz como:
onde é a unidade imaginária, .

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula de Bhaskara, as raízes e ficam:

Passo 5

Observamos que é igual ao conjugado de . O conjugado de um número complexo é .
Aplicando isso a :

Passo 6

Agora, vamos generalizar essa propriedade para um polinômio de grau com coeficientes reais. Seja e seja uma raiz de , ou seja, .
Como os coeficientes são reais, o conjugado das equações mantém a igualdade:
Portanto, também é raiz do polinômio .

Resposta

Assim, mostramos que para um polinômio com coeficientes reais, se é uma raiz complexa, então sua raiz conjugada também é uma raiz. Portanto, .

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