Seja P(x) = a x^2 + b x + c um polinomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que Delta = b^2 - 4 a c < 0. Então, as soluções da equação
P(x)=0 são números complexos com parte imaginária não nula. Se z1 e z2 são essas soluções, mostre que z2 = z1_barra. Mais geralmente, se P(x)=a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0 é um polinomio de grau n > 0 arbitrário, com coeficientes reais, e se z0 pertence a C é tal que P(z0) = 0, então tem-se que P(z0) = 0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo e entender os conceitos envolvidos.
Enunciado Resumido:
Temos um polinômio de segundo grau, , com coeficientes reais e discriminante . Isso significa que as soluções da equação são números complexos com parte imaginária diferente de zero. Se e são essas soluções, precisamos mostrar que , ou seja, é o conjugado de .
Conteúdo da Matéria:
  • Polinômios de grau 2
  • Soluções de equações quadráticas
  • Números complexos e seus conjugados
  • Propriedades das raízes de polinômios com coeficientes reais
O que vamos precisar:
  • Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de um polinômio quadrático
  • Conceito de número complexo e conjugado
  • Propriedades das equações polinomiais com coeficientes reais

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar as raízes de um polinômio de segundo grau . Utilizamos a fórmula de Bhaskara:
Onde é o discriminante.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Isso significa que a raiz quadrada de será um número imaginário, já que não podemos tirar raiz quadrada de um número negativo nos números reais. Portanto, as soluções serão números complexos.
Podemos reescrever a expressão sob a raiz como:
onde é a unidade imaginária, .

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula de Bhaskara, as raízes e ficam:

Passo 5

Observamos que é igual ao conjugado de . O conjugado de um número complexo é .
Aplicando isso a :

Passo 6

Agora, vamos generalizar essa propriedade para um polinômio de grau com coeficientes reais. Seja e seja uma raiz de , ou seja, .
Como os coeficientes são reais, o conjugado das equações mantém a igualdade:
Portanto, também é raiz do polinômio .

Resposta

Assim, mostramos que para um polinômio com coeficientes reais, se é uma raiz complexa, então sua raiz conjugada também é uma raiz. Portanto, .

Exercícios relacionados