Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no número e de grau . Isso significa que queremos aproximar a função usando um polinômio onde a aproximação é centrada em e inclui termos até a quarta potência de .
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma soma de termos que aproxima uma função suave perto de um ponto específico . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau é:
Vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliá-las em .
Passo 3
Calculando a primeira derivada de :
Avaliada em :
Passo 4
Calculando a segunda derivada:
Avaliada em :
Passo 5
Calculando a terceira derivada:
Avaliada em :
Passo 6
Calculando a quarta derivada:
No entanto, isso não está correto. Vamos recalcular a quarta derivada corretamente:
A terceira derivada é:
Derivando novamente:
Avaliada em :
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas até a quarta ordem avaliadas em , podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 4 para centrado em é: