Encontre o polinômio de Taylor T_n(x) da função f centrada no número a. f(x) = tg(x), a = pi / 4, n = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no número e de grau . Isso significa que queremos aproximar a função usando um polinômio onde a aproximação é centrada em e inclui termos até a quarta potência de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma soma de termos que aproxima uma função suave perto de um ponto específico . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau é:
Vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliá-las em .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Avaliada em :

Passo 4

Calculando a segunda derivada:
Avaliada em :

Passo 5

Calculando a terceira derivada:
Avaliada em :

Passo 6

Calculando a quarta derivada:
No entanto, isso não está correto. Vamos recalcular a quarta derivada corretamente:
A terceira derivada é:
Derivando novamente:
Avaliada em :

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas até a quarta ordem avaliadas em , podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 para centrado em é:

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