Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o polinômio de Taylor da função centrado no número e de grau . Isso significa que queremos aproximar a função usando um polinômio onde a aproximação é centrada em e inclui termos até a quarta potência de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma soma de termos que aproxima uma função suave perto de um ponto específico . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau é:
Vamos precisar calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliá-las em .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Avaliada em :

Passo 4

Calculando a segunda derivada:
Avaliada em :

Passo 5

Calculando a terceira derivada:
Avaliada em :

Passo 6

Calculando a quarta derivada:
No entanto, isso não está correto. Vamos recalcular a quarta derivada corretamente:
A terceira derivada é:
Derivando novamente:
Avaliada em :

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas até a quarta ordem avaliadas em , podemos montar o polinômio de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 para centrado em é:

Exercícios relacionados

Deduza a fórmula
Seja um polinomio de grau 2 com coeficientes reais e suponha que . Então, as soluções da equação
são números complexos com parte imaginária não nula. Se e são essas soluções, mostre que . Mais geralmente, se é um polinomio de grau arbitrário, com coeficientes reais, e se é tal que , então tem-se que .
Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .
Demonstre a fórmula de De Moivre