Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas e gira em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas , e gira em torno do eixo . Isso envolve o conteúdo de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente usando o método dos discos ou anéis. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma parábola que se abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma reta horizontal que corta a parábola. Então, a região limitada é entre (quando ) e .

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. Esse método envolve calcular a área de cada “fatia” circular do sólido e integrar essas áreas ao longo do intervalo de .

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui, é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, o raio é dado pela função . Os limites de vão de a , já que quando , .

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando temos .

Passo 7

A integral fica então:
Agora, vamos calcular essa integral.

Passo 8

Integrando em relação a :
Agora, avaliamos essa antiderivada de a .

Passo 9

Calculando nos limites:

Passo 10

Finalmente, multiplicamos pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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