Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
e
gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o volume de um sólido que surge quando a região limitada pelas curvas
,
e
gira em torno do eixo
. Isso envolve o conteúdo de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente usando o método dos discos ou anéis. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que se abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma reta horizontal que corta a parábola. Então, a região limitada é entre
(quando
) e
.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve calcular a área de cada “fatia” circular do sólido e integrar essas áreas ao longo do intervalo de
.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso, o raio
é dado pela função
. Os limites de
vão de
a
, já que quando
,
.
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando
temos
.
Passo 7
A integral fica então:
Agora, vamos calcular essa integral.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Agora, avaliamos essa antiderivada de
a
.
Passo 9
Calculando nos limites:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.