Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região englobada pelas curvas e gira em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido que surge quando a área delimitada pelas curvas , , e gira em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método das camadas cilíndricas. Isso vai envolver um pouco de cálculo integral, mas vou te explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que são camadas cilíndricas. Imagine que você está empilhando finas cascas cilíndricas para formar o sólido. Cada camada tem um raio, uma altura e uma espessura muito pequena .

Passo 3

Vamos identificar o raio de cada camada. Como estamos girando em torno de , o raio será a distância de um ponto na região até essa reta. Então,

Passo 4

Agora, a altura da camada é dada pela função . Essa é a distância vertical entre a curva e o eixo .

Passo 5

A espessura da camada é um pequeno incremento em , ou seja, .

Passo 6

A fórmula para o volume de uma camada cilíndrica é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar (integrar) todas essas camadas desde até . Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo por termo:
Então,

Passo 10

Vamos calcular os valores nos limites e :
Para :
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:

Passo 12

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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