Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região englobada pelas curvas
e
gira em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o volume de um sólido que surge quando a área delimitada pelas curvas
,
,
e
gira em torno da reta
. Para resolver isso, vamos usar o método das camadas cilíndricas. Isso vai envolver um pouco de cálculo integral, mas vou te explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que são camadas cilíndricas. Imagine que você está empilhando finas cascas cilíndricas para formar o sólido. Cada camada tem um raio, uma altura e uma espessura muito pequena
.
Passo 3
Vamos identificar o raio de cada camada. Como estamos girando em torno de
, o raio será a distância de um ponto
na região até essa reta. Então,
Passo 4
Agora, a altura da camada é dada pela função
. Essa é a distância vertical entre a curva e o eixo
.
Passo 5
A espessura da camada é um pequeno incremento em
, ou seja,
.
Passo 6
A fórmula para o volume de uma camada cilíndrica é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos somar (integrar) todas essas camadas desde
até
. Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo por termo:
Então,
Passo 10
Vamos calcular os valores nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Passo 12
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.