Deduza as fórmulas dos exercícios 4 e 5 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver os exercícios 4 e 5 que pedem para deduzir algumas fórmulas trigonométricas. O que vamos precisar aqui é entender como as funções trigonométricas inversas funcionam, especialmente o arco seno (arcsen) e o cosseno (cos). Basicamente, vamos usar relações básicas do triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras para chegar nas fórmulas.
Passo 2
Vamos começar com o exercício 4: deduzir a fórmula .
Primeiro, vamos lembrar que é o ângulo cujo seno é
. Vamos chamar esse ângulo de
, então:
Agora, imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é
, o cateto oposto a esse ângulo tem comprimento
e a hipotenusa tem comprimento 1 (porque
).
Usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Agora, o cosseno de
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
Como , temos:
Passo 3
Agora, vamos para o exercício 5. Suponhamos que o exercício 5 peça para deduzir
. O raciocínio é bem parecido com o anterior.
Chamamos
, então:
Imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é
, o cateto adjacente a esse ângulo tem comprimento
e a hipotenusa tem comprimento 1.
Usando o teorema de Pitágoras:
Agora, o seno de
é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
Então:
Resposta
As fórmulas deduzidas são:
e
Exercícios relacionados
Nos exercícios 10 a 12 verifique a igualdade.
Sendo
uma função invertível, derivável, talque
e
, calcule
.
Nos exercícios 8 e 9 , encontre
, se
é definida implicitamente pela equação dada.
Calcule os limites, caso exista: