Deduza as fórmulas dos exercícios 4 e 5 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver os exercícios 4 e 5 que pedem para deduzir algumas fórmulas trigonométricas. O que vamos precisar aqui é entender como as funções trigonométricas inversas funcionam, especialmente o arco seno (arcsen) e o cosseno (cos). Basicamente, vamos usar relações básicas do triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras para chegar nas fórmulas.

Passo 2

Vamos começar com o exercício 4: deduzir a fórmula .
Primeiro, vamos lembrar que é o ângulo cujo seno é . Vamos chamar esse ângulo de , então:
Agora, imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é , o cateto oposto a esse ângulo tem comprimento e a hipotenusa tem comprimento 1 (porque ).
Usando o teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Agora, o cosseno de é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos para o exercício 5. Suponhamos que o exercício 5 peça para deduzir . O raciocínio é bem parecido com o anterior.
Chamamos , então:
Imagine um triângulo retângulo onde um dos ângulos é , o cateto adjacente a esse ângulo tem comprimento e a hipotenusa tem comprimento 1.
Usando o teorema de Pitágoras:
Agora, o seno de é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:
Então:

Resposta

As fórmulas deduzidas são:
e

Exercícios relacionados

Nos exercícios 10 a 12 verifique a igualdade.
Sendo uma função invertível, derivável, talque e , calcule .
Nos exercícios 8 e 9 , encontre , se é definida implicitamente pela equação dada.
Calcule os limites, caso exista: