Deduza as relações fundamentais e a partir dessas equações deduza as Equações de Maxwell.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício onde precisamos deduzir as relações fundamentais da termodinâmica e, a partir delas, encontrar as Equações de Maxwell. A matéria envolvida aqui é termodinâmica, especificamente os potenciais termodinâmicos e suas relações. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes formas de energia interna, entalpia, energia livre de Gibbs e de Helmholtz, além de como essas grandezas se relacionam com temperatura, pressão, volume e entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as relações fundamentais da termodinâmica descrevem como diferentes propriedades termodinâmicas estão conectadas. As equações que você forneceu são as diferentes expressões diferenciais para a energia interna (u), entalpia (h), energia livre de Gibbs (g) e energia livre de Helmholtz (a).
Vamos analisar cada uma delas:
- Energia Interna (u):
2. Entalpia (h):
- Energia Livre de Gibbs (g):
4. Energia Livre de Helmholtz (a):
Essas equações nos mostram como uma pequena variação em u, h, g ou a depende das variações em s (entropia), v (volume), T (temperatura) e P (pressão).
Passo 3
Agora, para deduzir as Equações de Maxwell, precisamos usar o conceito das derivadas parciais cruzadas. A ideia é que, para funções de variáveis contínuas e suaves, a ordem das derivadas parciais não afeta o resultado. Ou seja:
Vamos aplicar isso às diferentes funções termodinâmicas.
Passo 4
Vamos começar com a energia interna (u). A equação diferencial é:
Isso significa que:
e
Agora, vamos aplicar a regra da igualdade das derivadas cruzadas:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Essa é uma das Equações de Maxwell.
Passo 5
Vamos fazer o mesmo processo para a entalpia (h). A equação diferencial é:
Daqui, temos:
e
Aplicando as derivadas cruzadas:
Substituindo:
Portanto:
Essa é outra Equação de Maxwell.
Passo 6
Agora, vamos para a energia livre de Gibbs (g):
Das quais obtemos:
e
Aplicando as derivadas cruzadas:
Substituindo:
Simplificando:
Rearranjando:
Mais uma Equação de Maxwell!
Passo 7
Por último, vamos considerar a energia livre de Helmholtz (a):
Daqui:
e
Aplicando as derivadas cruzadas:
Substituindo:
Simplificando:
Cancelando os sinais negativos:
Essa é mais uma das Equações de Maxwell.
Resposta
As Equações de Maxwell deduzidas a partir das relações fundamentais são: