Deduza as relações fundamentais e a partir dessas equações deduza as Equações de Maxwell.
du & =Tds-Pdv dh & =Tds+vdP dg & =-sdT+vdP da & =-sdT-Pdv

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício onde precisamos deduzir as relações fundamentais da termodinâmica e, a partir delas, encontrar as Equações de Maxwell. A matéria envolvida aqui é termodinâmica, especificamente os potenciais termodinâmicos e suas relações. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes formas de energia interna, entalpia, energia livre de Gibbs e de Helmholtz, além de como essas grandezas se relacionam com temperatura, pressão, volume e entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as relações fundamentais da termodinâmica descrevem como diferentes propriedades termodinâmicas estão conectadas. As equações que você forneceu são as diferentes expressões diferenciais para a energia interna (u), entalpia (h), energia livre de Gibbs (g) e energia livre de Helmholtz (a).
Vamos analisar cada uma delas:
  1. Energia Interna (u): du = T , ds - P , dv
    2. Entalpia (h):
    dh = T , ds + v , dP
  2. Energia Livre de Gibbs (g): dg = -s , dT + v , dP
    4. Energia Livre de Helmholtz (a):
    da = -s , dT - P , dv
Essas equações nos mostram como uma pequena variação em u, h, g ou a depende das variações em s (entropia), v (volume), T (temperatura) e P (pressão).

Passo 3

Agora, para deduzir as Equações de Maxwell, precisamos usar o conceito das derivadas parciais cruzadas. A ideia é que, para funções de variáveis contínuas e suaves, a ordem das derivadas parciais não afeta o resultado. Ou seja:
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x
Vamos aplicar isso às diferentes funções termodinâmicas.

Passo 4

Vamos começar com a energia interna (u). A equação diferencial é:
du = T , ds - P , dv
Isso significa que:
( partial upartial s )v = T
e
( partial upartial v )s = -P
Agora, vamos aplicar a regra da igualdade das derivadas cruzadas:
partialpartial v ( partial upartial s )v = partialpartial s ( partial upartial v )s
Substituindo os valores que encontramos:
partial Tpartial v = partial (-P)partial s
Simplificando:
( partial Tpartial v )s = - ( partial Ppartial s )v
Essa é uma das Equações de Maxwell.

Passo 5

Vamos fazer o mesmo processo para a entalpia (h). A equação diferencial é:
dh = T , ds + v , dP
Daqui, temos:
( partial hpartial s )P = T
e
( partial hpartial P )s = v
Aplicando as derivadas cruzadas:
partialpartial P ( partial hpartial s )P = partialpartial s ( partial hpartial P )s
Substituindo:
partial Tpartial P = partial vpartial s
Portanto:
( partial Tpartial P )s = ( partial vpartial s )P
Essa é outra Equação de Maxwell.

Passo 6

Agora, vamos para a energia livre de Gibbs (g):
dg = -s , dT + v , dP
Das quais obtemos:
( partial gpartial T )P = -s
e
( partial gpartial P )T = v
Aplicando as derivadas cruzadas:
partialpartial P ( partial gpartial T )P = partialpartial T ( partial gpartial P )T
Substituindo:
partial (-s)partial P = partial vpartial T
Simplificando:
- ( partial spartial P )T = ( partial vpartial T )P
Rearranjando:
( partial spartial P )T = - ( partial vpartial T )P
Mais uma Equação de Maxwell!

Passo 7

Por último, vamos considerar a energia livre de Helmholtz (a):
da = -s , dT - P , dv
Daqui:
( partial apartial T )v = -s
e
( partial apartial v )T = -P
Aplicando as derivadas cruzadas:
partialpartial v ( partial apartial T )v = partialpartial T ( partial apartial v )T
Substituindo:
partial (-s)partial v = partial (-P)partial T
Simplificando:
- ( partial spartial v )T = - ( partial Ppartial T )v
Cancelando os sinais negativos:
( partial spartial v )T = ( partial Ppartial T )v
Essa é mais uma das Equações de Maxwell.

Resposta

As Equações de Maxwell deduzidas a partir das relações fundamentais são:
  1. ( partial Tpartial v )s = - ( partial Ppartial s )v
  2. ( partial Tpartial P )s = ( partial vpartial s )P
  3. ( partial spartial P )T = - ( partial vpartial T )P
  4. ( partial spartial v )T = ( partial Ppartial T )v

Exercícios relacionados