Obtenha a expressão para a variação da energia interna De do sistema considerandose que o gás é representado pela equação de virial:
z=P vR T=1+BV+CV^2
R. d u=cv d T+[R T^2v(partial Bpartial T cdot 1v+partial Cpartial T cdot 1v^2)] d v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente encontrar a expressão para a variação da energia interna, representada por De, de um sistema onde o gás é descrito pela equação de virial. Isso faz parte da matéria de Termodinâmica, especificamente no estudo das propriedades dos gases reais. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de virial e como ela se relaciona com a energia interna do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de virial. Ela é uma forma de ajustar a equação dos gases ideais para levar em conta interações entre as moléculas do gás real. A equação de virial é dada por:
z = P vR T = 1 + BV + CV^2
Aqui, z é o fator de compressibilidade, P é a pressão, v é o volume molar, R é a constante dos gases, T é a temperatura, e B, C são os coeficientes de virial que dependem da temperatura.

Passo 3

Sabemos que a energia interna u de um gás pode ser expressa em função da temperatura e do volume. A variação da energia interna du é dada por:
du = cv dT + [R T^2v (partial Bpartial T cdot 1v + partial Cpartial T cdot 1v^2)] dv
Aqui, cv é a capacidade calorífica a volume constante, dT é a variação de temperatura, e dv é a variação do volume molar.

Passo 4

Para chegar nessa expressão, vamos começar calculando a energia interna u em termos das variáveis que temos. A energia interna de um gás real pode ser expandida em uma série de virial:
u = u0(T) + RT^2v ( B(T) + C(T)V )
Onde u0(T) é a energia interna para um gás ideal, que depende apenas da temperatura.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação du da energia interna. Para isso, precisamos derivar u em relação às variáveis T e v:
du = ( partial upartial T )v dT + ( partial upartial v )T dv
Primeiro, derivamos u em relação a T mantendo v constante:
( partial upartial T )v = du0dT + R T^2v ( partial Bpartial T + partial Cpartial T cdot 1v )
Como du0dT = cv, temos:
( partial upartial T )v = cv + R T^2v ( partial Bpartial T cdot 1v + partial Cpartial T cdot 1v^2 )

Passo 6

A derivada de u em relação ao volume v a temperatura constante é:
( partial upartial v )T = R T^2v ( partial Bpartial T cdot 1v + partial Cpartial T cdot 1v^2 )
Agora, substituindo essas derivadas na expressão de du, temos:
du = [ cv + R T^2v ( partial Bpartial T cdot 1v + partial Cpartial T cdot 1v^2 ) ] dT + R T^2v ( partial Bpartial T cdot 1v + partial Cpartial T cdot 1v^2 ) dv

Passo 7

Se considerarmos que a variação da energia interna De está associada principalmente às variações de temperatura dT e de volume dv, podemos simplificar a expressão adotando a forma linear:
De
Essa é a expressão que relaciona a variação da energia interna com as variações de temperatura e volume, considerando a equação de virial para um gás real.

Resposta

A variação da energia interna De do sistema é dada por:
De

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