Obtenha a expressão para a variação da energia interna
do sistema considerandose que o gás é representado pela equação de virial:
R.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para a gente encontrar a expressão para a variação da energia interna, representada por
, de um sistema onde o gás é descrito pela equação de virial. Isso faz parte da matéria de Termodinâmica, especificamente no estudo das propriedades dos gases reais. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação de virial e como ela se relaciona com a energia interna do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a equação de virial. Ela é uma forma de ajustar a equação dos gases ideais para levar em conta interações entre as moléculas do gás real. A equação de virial é dada por:
Aqui,
é o fator de compressibilidade,
é a pressão,
é o volume molar,
é a constante dos gases,
é a temperatura, e
,
são os coeficientes de virial que dependem da temperatura.
Passo 3
Sabemos que a energia interna
de um gás pode ser expressa em função da temperatura e do volume. A variação da energia interna
é dada por:
Aqui,
é a capacidade calorífica a volume constante,
é a variação de temperatura, e
é a variação do volume molar.
Passo 4
Para chegar nessa expressão, vamos começar calculando a energia interna
em termos das variáveis que temos. A energia interna de um gás real pode ser expandida em uma série de virial:
Onde
é a energia interna para um gás ideal, que depende apenas da temperatura.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação
da energia interna. Para isso, precisamos derivar
em relação às variáveis
e
:
Primeiro, derivamos
em relação a
mantendo
constante:
Como
, temos:
Passo 6
A derivada de
em relação ao volume
a temperatura constante é:
Agora, substituindo essas derivadas na expressão de
, temos:
Passo 7
Se considerarmos que a variação da energia interna
está associada principalmente às variações de temperatura
e de volume
, podemos simplificar a expressão adotando a forma linear:
Essa é a expressão que relaciona a variação da energia interna com as variações de temperatura e volume, considerando a equação de virial para um gás real.
Resposta
A variação da energia interna
do sistema é dada por: