Deduza que Rn - A < (b - a) / n * (f(b) - f(a))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente deduzir que . Isso está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente às somas de Riemann. Para resolver isso, vamos precisar entender como as somas de Riemann funcionam e como elas se relacionam com a área sob a curva da função no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa a área exata sob a curva da função de até , que é calculada pela integral definida:

Passo 3

Agora, representa a soma de Riemann à direita com subintervalos. Isso significa que dividimos o intervalo em partes iguais, cada uma com largura , e somamos as áreas dos retângulos cujo altura é dada pelo valor da função no ponto direito de cada subintervalo:

Passo 4

Para comparar com , vamos considerar a diferença . Essa diferença representa quanto a soma de Riemann está superestimando a área real sob a curva.

Passo 5

Sabendo que é uma função contínua e assumindo que e são os valores nos extremos do intervalo, podemos usar o teorema do valor médio para integrais, que nos garante que existe pelo menos um ponto no intervalo onde a média da função se relaciona com a integral.

Passo 6

Aplicando isso, podemos estabelecer que a diferença entre a soma de Riemann à direita e a área exata é menor que:
Isso ocorre porque, à medida que aumentamos o número de subintervalos , a soma de Riemann se aproxima cada vez mais da área exata, e a diferença entre elas diminui proporcionalmente a .

Resposta

Então, deduzimos que:

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