Jma partícula de massa
descreve um movimento sobre o eixo
ob a ação de uma única força
, com a condição inicial (0)
e
. Escreva
em função de
, observado que
está efinido para valores de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos fala sobre uma partícula de massa
que se move ao longo do eixo
sob a ação de uma força
, onde
. As condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é encontrar a velocidade
em função de
, considerando que
.
Para isso, vamos usar os conceitos de dinâmica e integração de equações diferenciais. Vamos precisar relacionar força, aceleração e velocidade, e então integrar para achar a expressão desejada.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a segunda lei de Newton diz que
. Como
, temos:
A aceleração
também pode ser expressa em termos da velocidade e da posição:
Então, igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
e
:
Vamos reescrever essa equação para facilitar a integração:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a do lado direito em relação a
:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos chamar
de
para simplificar a notação:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação para
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Resposta
A velocidade
em função de
é dada por:
Exercícios relacionados
eterminar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e ! que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Deduza que
partícula de masasa
descreve um movimento sobre o eixo
sols partio de uma ánica força
, com a condiçao inicial
açao
. Escreva
em função do
, obsorvado quo
está definido para valores de
.
Resolva a equação de Bernoulli