Jma partícula de massa m = 1 descreve um movimento sobre o eixo x ob a ação de uma única força F = -1/x^2 i, x > 0, com a condição inicial (0) = 1 e v(0) = v0 > 0. Escreva v em função de x, observado que x está efinido para valores de v0 != +- raiz(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos fala sobre uma partícula de massa que se move ao longo do eixo sob a ação de uma força , onde . As condições iniciais são e . Nosso objetivo é encontrar a velocidade em função de , considerando que .
Para isso, vamos usar os conceitos de dinâmica e integração de equações diferenciais. Vamos precisar relacionar força, aceleração e velocidade, e então integrar para achar a expressão desejada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a segunda lei de Newton diz que . Como , temos:
A aceleração também pode ser expressa em termos da velocidade e da posição:
Então, igualando as duas expressões para :

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona e :
Vamos reescrever essa equação para facilitar a integração:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a do lado direito em relação a :
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Vamos chamar de para simplificar a notação:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :

Passo 7

Substituindo de volta na equação para :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Resposta

A velocidade em função de é dada por:

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