Determine um fator integrante e resolva a equação

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede pra gente encontrar um fator integrante para resolvê-la. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar o fator integrante quando ela não é exata originalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que e .

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que nos permita torná-la exata. Geralmente, procuramos um fator que dependa apenas de ou de .
Vamos assumir que o fator integrante depende apenas de . Então, temos:
Para que esta nova equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Calculando as derivadas:
Dividindo ambos os lados por :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação diferencial para :
Isso é uma equação diferencial linear simples. Podemos resolver integrando ambos os lados:
Integrando:
Exponentiando ambos os lados para resolver para :
Como é uma constante multiplicativa, podemos simplificar para:

Passo 6

Agora que temos o fator integrante , multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando:

Passo 7

Com a equação agora exata, podemos integrar em relação a para encontrar a função potencial :
Integrando término a termo:

Passo 8

Agora, diferenciamos em relação a e igualamos à função :
Isso implica que:

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação é
onde é uma constante.

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