Determine um fator integrante e resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede pra gente encontrar um fator integrante para resolvê-la. A matéria aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar o fator integrante quando ela não é exata originalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que
e
.
Passo 3
Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que nos permita torná-la exata. Geralmente, procuramos um fator que dependa apenas de
ou de
.
Vamos assumir que o fator integrante
depende apenas de
. Então, temos:
Para que esta nova equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Calculando as derivadas:
Dividindo ambos os lados por
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação diferencial para
:
Isso é uma equação diferencial linear simples. Podemos resolver integrando ambos os lados:
Integrando:
Exponentiando ambos os lados para resolver para
:
Como
é uma constante multiplicativa, podemos simplificar para:
Passo 6
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por ele:
Simplificando:
Passo 7
Com a equação agora exata, podemos integrar
em relação a
para encontrar a função potencial
:
Integrando término a termo:
Passo 8
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos à função
:
Isso implica que:
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante.
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.
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, obsorvado que
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.
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