eterminar uma função
cujo o gráfico passe pelo ponto
e ! que a reta tangente no ponto genérico
tenha coeficiente angular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
que passe pelo ponto
e cuja reta tangente em qualquer ponto
tenha coeficiente angular igual a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A reta tangente a um ponto numa função tem uma inclinação que é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, o coeficiente angular da tangente é
.
No enunciado, foi dito que esse coeficiente é igual a
, que simplifica para
. Portanto, temos a seguinte equação diferencial:
Passo 3
Essa equação diferencial é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
de lados opostos da equação para facilitar a integração. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação:
As integrais de
em relação a
e
em relação a
são conhecidas:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial que a função passa pelo ponto
. Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com
, a equação fica:
Para resolver isso, podemos eliminar os logaritmos aplicando a exponenciação em ambos os lados:
Resposta
A função que satisfaz as condições do exercício é
.