eterminar uma função cujo o gráfico passe pelo ponto e ! que a reta tangente no ponto genérico tenha coeficiente angular .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função que passe pelo ponto e cuja reta tangente em qualquer ponto tenha coeficiente angular igual a . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A reta tangente a um ponto numa função tem uma inclinação que é dada pela derivada da função nesse ponto. Então, o coeficiente angular da tangente é .
No enunciado, foi dito que esse coeficiente é igual a , que simplifica para . Portanto, temos a seguinte equação diferencial:

Passo 3

Essa equação diferencial é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis e de lados opostos da equação para facilitar a integração. Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação:
As integrais de em relação a e em relação a são conhecidas:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial que a função passa pelo ponto . Substituindo e na equação:

Passo 6

Com , a equação fica:
Para resolver isso, podemos eliminar os logaritmos aplicando a exponenciação em ambos os lados:

Resposta

A função que satisfaz as condições do exercício é .

Exercícios relacionados

Deduza que
moncial homogenea an - os membros da equaçá soluçio em termo de que dem obtida no ftem a), encontrando a so obter a solucío . subsitrado a instante passa pelo ponto .
partícula de massa descreve movimento sobre o eixo sol a io de uma ánica força , com a condiçüo inicial e e . Escreva om função de , obsorvado que está definido para valores de .
Jma partícula de massa descreve um movimento sobre o eixo ob a ação de uma única força , com a condição inicial (0) e . Escreva em função de , observado que está efinido para valores de .
partícula de masasa descreve um movimento sobre o eixo sols partio de uma ánica força , com a condiçao inicial açao . Escreva em função do , obsorvado quo está definido para valores de .