moncial homogenea an - os membros da equaçá soluçio em termo de u que dem obtida no ftem a), encontrando a so obter a solucío p(t). subsitrado a instante t0 passa pelo ponto p0.
partícula de massa m = 1 descreve u m movimento sobre o eixo x sol a io de uma ánica força mu' = -1/n^2 * i, x > 0, com a condiçüo inicial x(0) e e v(0) = v0 > 0. Escreva v om função de x, obsorvado que x está definido para valores de v0 != +- raiz(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula de massa que se move ao longo do eixo sob a ação de uma força constante , onde . A gente tem condições iniciais: posição inicial e velocidade inicial . Nosso objetivo é descobrir a velocidade em função da posição , sabendo que não é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente as leis de Newton e integração de equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que relaciona força ( ), massa ( ) e aceleração ( ):
Como a massa , a fórmula fica:
A força dada é , então:

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Então, temos:
Para encontrar a velocidade em função do tempo, vamos integrar esta equação:
O que resulta em:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante de integração :
Portanto, a velocidade em função do tempo é:

Passo 5

Queremos a velocidade em função da posição . Sabemos que:
Então, podemos reescrever a equação da velocidade como:
Para relacionar e , vamos expressar em função de e substituir na equação de .

Passo 6

Vamos integrar a equação da velocidade para encontrar :
Usando a condição inicial :
Então,

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para em função de :
Multiplicando tudo por para simplificar:
Reorganizando:
Esta é uma equação quadrática em , que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão da velocidade :
Simplificando:
Dividindo os termos dentro da raiz por :

Resposta

A velocidade em função da posição é dada por:

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