Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa encontrar as coordenadas de uma matriz em relação a uma base . A base é formada por três matrizes simétricas . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear das matrizes que estão na base . Ou seja, queremos achar os coeficientes que multiplicam cada matriz da base para chegar na matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação que queremos encontrar:
Aqui, , e são os coeficientes que estamos procurando, e , , são as matrizes da base .
Passo 3
Vamos substituir as matrizes na equação. Temos:
Passo 4
Agora, vamos escrever isso componente por componente, ou seja, igualar cada elemento das matrizes:
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema. Vamos isolar na segunda equação: