Seja B=(cc1 & -1 -1 & 2),(cc4 & 1 1 & 0),(cc3 & -2 -2 & 1) uma base para o espaço vetorial W das matrizes reais simétrica 2 times 2. Encontre as coordenadas da matriz A in W em relação à base B, onde:
(a) A=(cc1 & -5 -5 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa encontrar as coordenadas de uma matriz em relação a uma base . A base é formada por três matrizes simétricas . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear das matrizes que estão na base . Ou seja, queremos achar os coeficientes que multiplicam cada matriz da base para chegar na matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que queremos encontrar:
A = c1 B1 + c2 B2 + c3 B3
Aqui, , e são os coeficientes que estamos procurando, e , , são as matrizes da base .

Passo 3

Vamos substituir as matrizes na equação. Temos:
1 & -5 -5 & 5 = c1 1 & -1 -1 & 2 + c2 4 & 1 1 & 0 + c3 3 & -2 -2 & 1

Passo 4

Agora, vamos escrever isso componente por componente, ou seja, igualar cada elemento das matrizes:
1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 4 + c3 cdot 3 -5 = c1 cdot (-1) + c2 cdot 1 + c3 cdot (-2) 5 = c1 cdot 2 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
2c1 + c3 = 5 Rightarrow c3 = 5 - 2c1
Agora, substituímos c1 + 4c2 + 3(5 - 2c1) = 1 c1 + 4c2 + 15 - 6c1 = 1 -5c1 + 4c2 = -14 (1) nas outras duas equações:
Primeira equação:
-c1 + c2 -2(5 - 2c1) = -5 - c1 + c2 -10 +4c1 = -5 3c1 + c2 = 5 (2)
Segunda equação:

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
-5c1 + 4c2 = -14 3c1 + c2 = 5
Podemos resolver esse sistema. Vamos isolar c2 = 5 - 3c1 na segunda equação:
-5c1 + 4(5 - 3c1) = -14 -5c1 + 20 -12c1 = -14 -17c1 = -34 c1 = 2
Substituímos c2 = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1 na primeira equação:
c3 = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1
Agora, encontramos , podemos encontrar :
E finalmente, usando a expressão para :

Resposta

As coordenadas da matriz em relação à base são .

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