Seja uma base para o espaço vetorial das matrizes reais simétrica . Encontre as coordenadas da matriz em relação à base , onde:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisa encontrar as coordenadas de uma matriz em relação a uma base . A base é formada por três matrizes simétricas . Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar como uma combinação linear das matrizes que estão na base . Ou seja, queremos achar os coeficientes que multiplicam cada matriz da base para chegar na matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que queremos encontrar:
Aqui, , e são os coeficientes que estamos procurando, e , , são as matrizes da base .

Passo 3

Vamos substituir as matrizes na equação. Temos:

Passo 4

Agora, vamos escrever isso componente por componente, ou seja, igualar cada elemento das matrizes:
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos nas outras duas equações:
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 6

Agora, temos um sistema com duas equações:
Podemos resolver esse sistema. Vamos isolar na segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos , podemos encontrar :
E finalmente, usando a expressão para :

Resposta

As coordenadas da matriz em relação à base são .

Exercícios relacionados

Deduza o termo geral e escreva usando a notação de série:
A matriz A abaixo tem base de autovetores? Porque?
Seja . Determine se a série é convergente.
As seguintes séries são geométricas. Determine se são ou não são convergentes. Se for convergente, determine o seu valor.