Deduzir uma equação do paraboloide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z=4 é a circunferência de centro (0,0,4) e raio 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um paraboloide que tem o vértice na origem (0,0,0). Sabemos também que, quando esse paraboloide corta o plano , a interseção forma uma circunferência com centro em e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações de superfícies funcionam, especialmente a do paraboloide, e como elas interagem com planos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a equação geral de um paraboloide de revolução com vértice na origem é dada por:
z = ax^2 + by^2
Como o paraboloide é simétrico em relação ao eixo z = a(x^2 + y^2) , podemos simplificar e considerar que . Então, a equação fica:
Aqui, é uma constante que determina a “abertura” do paraboloide.

Passo 3

Agora, vamos usar a informação sobre a interseção com o plano 4 = a(x^2 + y^2) . Quando substituímos na equação do paraboloide, temos:
Essa equação representa uma circunferência no plano com raio .

Passo 4

Segundo o enunciado, o raio dessa circunferência é 3. Então, podemos igualar:
raiz4a = 3
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
4a = 9
Agora, isolamos a = 49 :

Passo 5

Com o valor de z = 49(x^2 + y^2) encontrado, podemos substituir de volta na equação do paraboloide:
Essa é a equação do paraboloide que satisfaz as condições do exercício.

Resposta

A equação do paraboloide é:
z = 49(x^2 + y^2)

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