Deduzir uma equação do paraboloide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano
é a circunferência de centro
e raio 3 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um paraboloide que tem o vértice na origem (0,0,0). Sabemos também que, quando esse paraboloide corta o plano
, a interseção forma uma circunferência com centro em
e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações de superfícies funcionam, especialmente a do paraboloide, e como elas interagem com planos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a equação geral de um paraboloide de revolução com vértice na origem é dada por:
Como o paraboloide é simétrico em relação ao eixo
, podemos simplificar e considerar que
. Então, a equação fica:
Aqui,
é uma constante que determina a “abertura” do paraboloide.
Passo 3
Agora, vamos usar a informação sobre a interseção com o plano
. Quando substituímos
na equação do paraboloide, temos:
Essa equação representa uma circunferência no plano
com raio
.
Passo 4
Segundo o enunciado, o raio dessa circunferência é 3. Então, podemos igualar:
Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos substituir de volta na equação do paraboloide:
Essa é a equação do paraboloide que satisfaz as condições do exercício.
Resposta
A equação do paraboloide é: