Demonstre que não existe
tal que os vetores
e
sejam perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
e
. A pergunta é se existe algum valor de
que faça esses vetores serem perpendiculares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto escalar, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
No nosso caso, os vetores são
e
, então vamos calcular o produto escalar deles.
Passo 3
Calculando o produto escalar:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 4
Para os vetores serem perpendiculares, o produto escalar precisa ser igual a zero:
Agora, vamos tentar resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Agora, para encontrar
, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Aqui, percebemos que estamos tirando a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível nos números reais.
Resposta
Portanto, não existe nenhum valor real de
que faça os vetores
e
serem perpendiculares.
Exercícios relacionados
Se
é o operador linear definido por
, onde
e
são números reais positivos, prove que:
a) os autovalores de são dados por
.
b) os autovalores de são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.
a) os autovalores de
b) os autovalores de
Determine o vetor
, tal que
Deduzir uma equação do paraboloide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano
é a circunferência de centro
e raio 3 .
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.