Demonstre que não existe x tal que os vetores V=(x, 2,4) e W=(x, 2,3) sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3). A pergunta é se existe algum valor de x que faça esses vetores serem perpendiculares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto escalar, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3) é dado por:
V cdot W = v1w1 + v2w2 + v3w3
No nosso caso, os vetores são V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3), então vamos calcular o produto escalar deles.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
V cdot W = x cdot x + 2 cdot 2 + 4 cdot 3
Vamos simplificar cada termo:
V cdot W = x^2 + 4 + 12
V cdot W = x^2 + 16

Passo 4

Para os vetores serem perpendiculares, o produto escalar precisa ser igual a zero:
x^2 + 16 = 0
Agora, vamos tentar resolver essa equação para encontrar x.

Passo 5

Resolvendo a equação:
x^2 + 16 = 0
Subtraindo 16 de ambos os lados:
x^2 = -16
Agora, para encontrar x, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
x = raiz-16
Aqui, percebemos que estamos tirando a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível nos números reais.

Resposta

Portanto, não existe nenhum valor real de x que faça os vetores V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3) serem perpendiculares.

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