Demonstre que não existe x tal que os vetores V=(x, 2,4) e W=(x, 2,3) sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3). A pergunta é se existe algum valor de x que faça esses vetores serem perpendiculares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o produto escalar, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são perpendiculares (ou ortogonais) se o produto escalar deles for igual a zero. O produto escalar de dois vetores V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3) é dado por:
V cdot W = v1w1 + v2w2 + v3w3
No nosso caso, os vetores são V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3), então vamos calcular o produto escalar deles.

Passo 3

Calculando o produto escalar:
V cdot W = x cdot x + 2 cdot 2 + 4 cdot 3
Vamos simplificar cada termo:
V cdot W = x^2 + 4 + 12
V cdot W = x^2 + 16

Passo 4

Para os vetores serem perpendiculares, o produto escalar precisa ser igual a zero:
x^2 + 16 = 0
Agora, vamos tentar resolver essa equação para encontrar x.

Passo 5

Resolvendo a equação:
x^2 + 16 = 0
Subtraindo 16 de ambos os lados:
x^2 = -16
Agora, para encontrar x, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
x = raiz-16
Aqui, percebemos que estamos tirando a raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível nos números reais.

Resposta

Portanto, não existe nenhum valor real de x que faça os vetores V = (x, 2, 4) e W = (x, 2, 3) serem perpendiculares.

Exercícios relacionados

Se T: R^2 R^2 é o operador linear definido por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y), onde a, b, c e d são números reais positivos, prove que:
a) os autovalores de T são dados por 12(a+d) pm[(a-d)^2+4 b c]^1 / 2.
b) os autovalores de T são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.
Determine o vetor X, tal que l6 X-2 Y=U 3 X+Y=U+V
Deduzir uma equação do paraboloide de vértice na origem, sabendo que sua interseção com o plano z=4 é a circunferência de centro (0,0,4) e raio 3 .
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. x^2+y^2+z^2-6 x+4 y+9=0