Se T: R^2 R^2 é o operador linear definido por T(x, y)=(a x+b y, c x+d y), onde a, b, c e d são números reais positivos, prove que:
a) os autovalores de T são dados por 12(a+d) pm[(a-d)^2+4 b c]^1 / 2.
b) os autovalores de T são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá um operador linear definido por , onde e são números reais positivos. Nosso objetivo é encontrar os autovalores desse operador. Autovalores são valores que, quando aplicados a vetores próprios, apenas escalam esses vetores sem mudar a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = a & b c & d como uma matriz. Para , a matriz associada é:

Passo 3

Para encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
onde é o autovalor e é a matriz identidade .

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = a - lambda & b c & d - lambda :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante de det(A - lambda I) = (a - lambda)(d - lambda) - b c :
lambda^2 - (a + d)lambda + (a d - b c) = 0
Expandindo isso, temos:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática na forma lambda = (a + d) pm raiz(a + d)^2 - 4(a d - b c)2 . Para encontrar os valores de , usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da raiz:
(a + d)^2 - 4(a d - b c) = a^2 + 2 a d + d^2 - 4 a d + 4 b c = (a - d)^2 + 4 b c

Passo 8

Substituindo de volta na fórmula dos autovalores:
lambda = (a + d) pm raiz(a - d)^2 + 4 b c2

Passo 9

Agora, vamos provar que esses autovalores são reais, distintos e que pelo menos um deles é positivo.

Passo 10

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz quadrada:
De
Como são números reais positivos, é sempre positivo porque é a soma de um quadrado e outro termo positivo.

Passo 11

Como , a raiz quadrada de também é real e positiva. Isso garante que os dois autovalores são reais e distintos, já que a presença do resulta em valores diferentes.

Passo 12

Agora, vamos analisar o sinal dos autovalores. O termo é positivo, pois e são positivos. Assim, ambos os autovalores são a média de mais ou menos algo positivo.

Passo 13

Isso significa que pelo menos um dos autovalores será positivo. Especificamente, o autovalor com o na fórmula será definitivamente positivo, já que está somando uma quantidade positiva a .

Resposta

Portanto, os autovalores de são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.

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