Se
é o operador linear definido por
, onde
e
são números reais positivos, prove que:
a) os autovalores de
são dados por
.
b) os autovalores de
são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.
a) os autovalores de
b) os autovalores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá um operador linear
definido por
, onde
e
são números reais positivos. Nosso objetivo é encontrar os autovalores desse operador. Autovalores são valores que, quando aplicados a vetores próprios, apenas escalam esses vetores sem mudar a direção.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Para
, a matriz associada é:
Passo 3
Para encontrar os autovalores da matriz
, precisamos resolver a equação característica:
onde
é o autovalor e
é a matriz identidade
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, calculamos o determinante de
:
Expandindo isso, temos:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática na forma
. Para encontrar os valores de
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 8
Substituindo de volta na fórmula dos autovalores:
Passo 9
Agora, vamos provar que esses autovalores são reais, distintos e que pelo menos um deles é positivo.
Passo 10
Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz quadrada:
Como
são números reais positivos,
é sempre positivo porque é a soma de um quadrado e outro termo positivo.
Passo 11
Como
, a raiz quadrada de
também é real e positiva. Isso garante que os dois autovalores são reais e distintos, já que a presença do
resulta em valores diferentes.
Passo 12
Agora, vamos analisar o sinal dos autovalores. O termo
é positivo, pois
e
são positivos. Assim, ambos os autovalores são a média de
mais ou menos algo positivo.
Passo 13
Isso significa que pelo menos um dos autovalores será positivo. Especificamente, o autovalor com o
na fórmula será definitivamente positivo, já que está somando uma quantidade positiva a
.
Resposta
Portanto, os autovalores de
são reais, distintos e pelo menos um deles é positivo.