Deduzir as equações de onda para o campo elétrico e magnético a partir da lei de Faraday e da lei de Ampère.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzirmos as equações de onda para os campos elétrico ( ) e magnético ( ) usando a Lei de Faraday e a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar das equações de Maxwell no vácuo e entender como elas se relacionam para formar as equações de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico. Em termos de equação diferencial, ela é:
nabla times E = -partial Bpartial t
Aqui, representa a rotacional do campo elétrico, e é a taxa de variação temporal do campo magnético.

Passo 3

Agora, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona o rotacional do campo magnético com a corrente elétrica e a variação do campo elétrico. No vácuo (sem correntes), a equação fica:
nabla times B = mu0 epsilon0 partial Epartial t
Onde é a permeabilidade do vácuo e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para deduzir a equação de onda para nabla times (nabla times E) = nabla times ( -partial Bpartial t ) , vamos aplicar o operador rotacional ( -nabla^2 E = -partialpartial t (nabla times B) ) na Lei de Faraday:
Usando a identidade vetorial e sabendo que, no vácuo, , temos:

Passo 5

Substituindo a Lei de Ampère-Maxwell na equação acima:
-nabla^2 E = -partialpartial t ( mu0 epsilon0 partial Epartial t )
Simplificando os sinais:
nabla^2 E = mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2

Passo 6

Rearranjando os termos, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
nabla^2 E - mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 0

Passo 7

De modo semelhante, para deduzir a equação de onda para nabla times (nabla times B) = nabla times ( mu0 epsilon0 partial Epartial t ) , aplicamos o operador rotacional na Lei de Ampère-Maxwell:
-nabla^2 B = mu0 epsilon0 partialpartial t (nabla times E)
Usando novamente a identidade vetorial e sabendo que :

Passo 8

Substituindo a Lei de Faraday:
-nabla^2 B = mu0 epsilon0 partialpartial t ( -partial Bpartial t )
Simplificando:
-nabla^2 B = -mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2

Passo 9

Rearranjando os termos, obtemos a equação de onda para o campo magnético:
nabla^2 B - mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 = 0

Resposta

As equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo são:
nabla^2 E - mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2 = 0
nabla^2 B - mu0 epsilon0 partial^2 Bpartial t^2 = 0

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