Deduzir as equações de onda para o campo elétrico e magnético a partir da lei de Faraday e da lei de Ampère.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para deduzirmos as equações de onda para os campos elétrico (
) e magnético (
) usando a Lei de Faraday e a Lei de Ampère. Para isso, vamos precisar das equações de Maxwell no vácuo e entender como elas se relacionam para formar as equações de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Faraday, que relaciona a variação do campo magnético com o campo elétrico. Em termos de equação diferencial, ela é:
Aqui,
representa a rotacional do campo elétrico, e
é a taxa de variação temporal do campo magnético.
Passo 3
Agora, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona o rotacional do campo magnético com a corrente elétrica e a variação do campo elétrico. No vácuo (sem correntes), a equação fica:
Onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para deduzir a equação de onda para
, vamos aplicar o operador rotacional (
) na Lei de Faraday:
Usando a identidade vetorial
e sabendo que, no vácuo,
, temos:
Passo 5
Substituindo a Lei de Ampère-Maxwell na equação acima:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Rearranjando os termos, obtemos a equação de onda para o campo elétrico:
Passo 7
De modo semelhante, para deduzir a equação de onda para
, aplicamos o operador rotacional na Lei de Ampère-Maxwell:
Usando novamente a identidade vetorial e sabendo que
:
Passo 8
Substituindo a Lei de Faraday:
Simplificando:
Passo 9
Rearranjando os termos, obtemos a equação de onda para o campo magnético:
Resposta
As equações de onda para os campos elétrico e magnético no vácuo são: