Um radiômetro é um dispositivo para medir a intensidade da radiação térmica em faixas selecionadas do comprimento de onda, o que permite a determinação da temperatura de corpos. Considere um objeto aquecido e mantido à temperatura de 1300 K . Imagine que você tem um radiômetro que mede a intensidade da radiação em intervalos de comprimento de onde de
. Mudando os intervalos comprimento de onda você pode ajustar o radiômetro para medir a mais intensa emissão de radiação pelo objeto. Qual é a intensidade da radiação emitida neste intervalo? [Dica: Lembre-se que
a intensidade espectral do objeto, observe que a integral
para um intervalo de comprimentos de onda pequeno (comparado ao espectro total) pode ser aproximada por
.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre radiação térmica e radiômetros! A gente tem um objeto aquecido a 1300 K e usa um radiômetro que mede a intensidade da radiação em intervalos de comprimento de onda de 12 nm. A missão aqui é encontrar qual é a intensidade da radiação emitida nesse intervalo onde a emissão é mais intensa. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Wien pra achar o comprimento de onda de máxima emissão e depois calcular a intensidade usando a relação fornecida no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir em qual comprimento de onda a emissão de radiação é mais intensa para um objeto a 1300 K. Isso a gente faz usando a Lei de Wien, que relaciona a temperatura de um corpo com o comprimento de onda no qual a emissão é máxima. A fórmula da Lei de Wien é:
Onde:
-
é o comprimento de onda de máxima emissão, -
é a constante de Wien, -
é a temperatura em Kelvin.
Passo 3
Vamos calcular
usando
:
Convertendo para nanômetros (já que 1 m =
nm):
Então, a emissão mais intensa ocorre em torno de 2226 nm.
Passo 4
Agora que sabemos o comprimento de onda de máxima emissão (
), vamos calcular a intensidade da radiação emitida nesse intervalo de 12 nm. A intensidade espectral é dada por:
E, para um intervalo pequeno de comprimento de onda, a integral pode ser aproximada por:
Onde:
-
é a velocidade da luz ( ), -
é a densidade espectral de energia, -
.
Passo 5
Para encontrar
no
, usamos a Lei de Planck para a distribuição espectral de energia:
Onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a constante de Boltzmann ( ), -
é o comprimento de onda ( ), -
é a temperatura ( ).
Primeiro, calculamos o expoente:
Então:
Calculando os valores numéricos:
- Calculando
:
- Calculando o numerador:
- Calculando
:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a intensidade da radiação emitida no intervalo de 12 nm:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
- Dividindo a velocidade da luz por 4:
- Multiplicando pelos outros termos:
Resposta
A intensidade da radiação emitida neste intervalo é aproximadamente
.
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.
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.
O máximo da emissão de radiação térmica ocorre para qual comprimento de onda?
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