Um radiômetro é um dispositivo para medir a intensidade da radiação térmica em faixas selecionadas do comprimento de onda, o que permite a determinação da temperatura de corpos. Considere um objeto aquecido e mantido à temperatura de 1300 K . Imagine que você tem um radiômetro que mede a intensidade da radiação em intervalos de comprimento de onde de . Mudando os intervalos comprimento de onda você pode ajustar o radiômetro para medir a mais intensa emissão de radiação pelo objeto. Qual é a intensidade da radiação emitida neste intervalo? [Dica: Lembre-se que a intensidade espectral do objeto, observe que a integral para um intervalo de comprimentos de onda pequeno (comparado ao espectro total) pode ser aproximada por .]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre radiação térmica e radiômetros! A gente tem um objeto aquecido a 1300 K e usa um radiômetro que mede a intensidade da radiação em intervalos de comprimento de onda de 12 nm. A missão aqui é encontrar qual é a intensidade da radiação emitida nesse intervalo onde a emissão é mais intensa. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Wien pra achar o comprimento de onda de máxima emissão e depois calcular a intensidade usando a relação fornecida no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir em qual comprimento de onda a emissão de radiação é mais intensa para um objeto a 1300 K. Isso a gente faz usando a Lei de Wien, que relaciona a temperatura de um corpo com o comprimento de onda no qual a emissão é máxima. A fórmula da Lei de Wien é:
Onde:
  • é o comprimento de onda de máxima emissão,
  • é a constante de Wien,
  • é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Vamos calcular usando :
Convertendo para nanômetros (já que 1 m = nm):
Então, a emissão mais intensa ocorre em torno de 2226 nm.

Passo 4

Agora que sabemos o comprimento de onda de máxima emissão ( ), vamos calcular a intensidade da radiação emitida nesse intervalo de 12 nm. A intensidade espectral é dada por:
E, para um intervalo pequeno de comprimento de onda, a integral pode ser aproximada por:
Onde:
  • é a velocidade da luz ( ),
  • é a densidade espectral de energia,
  • .

Passo 5

Para encontrar no , usamos a Lei de Planck para a distribuição espectral de energia:
Onde:
  • é a constante de Planck ( ),
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é o comprimento de onda ( ),
  • é a temperatura ( ).
Primeiro, calculamos o expoente:
Então:
Calculando os valores numéricos:
  1. Calculando :
  1. Calculando o numerador:
  1. Calculando :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a intensidade da radiação emitida no intervalo de 12 nm:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
  1. Dividindo a velocidade da luz por 4:
  1. Multiplicando pelos outros termos:

Resposta

A intensidade da radiação emitida neste intervalo é aproximadamente .

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