Deduzir, por meio da Análise Dimensional, a lei de Kepler relativa ao movimento dos planetas, sabendo-se que o período de revolução planetária depende do semi-eixo maior da órbita, da contante da gravitação universal e da massa do Sol. Lembrando que
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a terceira lei de Kepler usando Análise Dimensional. Isso envolve física, mais especificamente a área de gravitação universal. Para resolver, vamos precisar entender como o período de revolução de um planeta está relacionado com o semi-eixo maior da sua órbita , a constante gravitacional , e a massa do Sol .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as grandezas envolvidas e suas dimensões. Temos:
  • Período com dimensão de tempo:
  • Semi-eixo maior com dimensão de comprimento:
  • Constante gravitacional com dimensão fornecida:
  • Massa do Sol com dimensão de massa:

Passo 3

Queremos expressar o período em função de , e . Vamos assumir que depende de , e de forma multiplicativa com algumas potências desconhecidas:
Aqui, é uma constante adimensional e , , são expoentes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, aplicamos a análise dimensional. As dimensões de ambos os lados da equação devem ser iguais. Vamos substituir as dimensões de cada termo:
Como é adimensional, . Então:

Passo 5

Simplificamos as dimensões:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos as potências das dimensões de cada lado da equação:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Da equação de :
Da equação de :
Da equação de :

Passo 8

Substituímos os valores de , e na expressão inicial:
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

Exercícios relacionados

A força resistiva a um disco que se move no ar depende da área , da velocidade escalar do disco e da densidade absoluta do ar. Determinar a equação que dá esta dependência.
Resposta: .
As equações dadas a seguir são equações de estado propostas para gases reais, onde: representa pressão; representa o volume específico, isto é, o quociente entre o volume e a massa; representa uma constante e representa a temperatura absoluta. Determinar a equação dimensional do SI das constantes e .
(a) Equação de Van der Waals
(b) Equação de Clausius
© Equação de Wohl
(d) Equação de Berthelot
(e) Equação de Dieterici (onde )
Resposta: (a) (b) ; © ; (d) (e)
Determinar o período de vibração de uma gota, sabendo-se que o mesmo é função da massa específica da substância líquida, do raio r da gota e da tensão superficial
Resposta: lembrando que
Calcular a velocidade escalar com a qual uma onda longitudinal se propaga num meio elástico contínuo, cuja massa específica é e cujo módulo de Young e E. Sabe-se que v depende apenas de e e que o fator adimensional que relaciona e tem valor igual a 1.
Resposta: lembrando que