Deduzir, por meio da Análise Dimensional, a
lei de Kepler relativa ao movimento dos planetas, sabendo-se que o período
de revolução planetária depende do semi-eixo maior da órbita, da contante
da gravitação universal e da massa
do Sol. Lembrando que
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a terceira lei de Kepler usando Análise Dimensional. Isso envolve física, mais especificamente a área de gravitação universal. Para resolver, vamos precisar entender como o período de revolução
de um planeta está relacionado com o semi-eixo maior da sua órbita
, a constante gravitacional
, e a massa do Sol
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as grandezas envolvidas e suas dimensões. Temos:
- Período
com dimensão de tempo: - Semi-eixo maior
com dimensão de comprimento: - Constante gravitacional
com dimensão fornecida: - Massa do Sol
com dimensão de massa:
Passo 3
Queremos expressar o período
em função de
,
e
. Vamos assumir que
depende de
,
e
de forma multiplicativa com algumas potências desconhecidas:
Aqui,
é uma constante adimensional e
,
,
são expoentes que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, aplicamos a análise dimensional. As dimensões de ambos os lados da equação devem ser iguais. Vamos substituir as dimensões de cada termo:
Como
é adimensional,
. Então:
Passo 5
Simplificamos as dimensões:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos as potências das dimensões de cada lado da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
Da equação de
:
Da equação de
:
Da equação de
:
Passo 8
Substituímos os valores de
,
e
na expressão inicial:
Simplificando, podemos escrever: