Deduzir, por meio da Análise Dimensional, a 3^a lei de Kepler relativa ao movimento dos planetas, sabendo-se que o período T de revolução planetária depende do semi-eixo maior da órbita, da contante G da gravitação universal e da massa M do Sol. Lembrando que [G]=L^3 M^-1 T^-2
Resposta: T=K raiza^3G M

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para deduzirmos a terceira lei de Kepler usando Análise Dimensional. Isso envolve física, mais especificamente a área de gravitação universal. Para resolver, vamos precisar entender como o período de revolução de um planeta está relacionado com o semi-eixo maior da sua órbita , a constante gravitacional , e a massa do Sol .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as grandezas envolvidas e suas dimensões. Temos:
  • Período com dimensão de tempo:
  • Semi-eixo maior com dimensão de comprimento:
  • Constante gravitacional com dimensão fornecida:
  • Massa do Sol com dimensão de massa:

Passo 3

Queremos expressar o período T = K cdot a^x cdot G^y cdot M^z em função de , e . Vamos assumir que depende de , e de forma multiplicativa com algumas potências desconhecidas:
Aqui, é uma constante adimensional e , , são expoentes que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, aplicamos a análise dimensional. As dimensões de ambos os lados da equação devem ser iguais. Vamos substituir as dimensões de cada termo:
[T] = [K] cdot [a]^x cdot [G]^y cdot [M]^z
Como T = L^x cdot (L^3 M^-1 T^-2)^y cdot M^z é adimensional, . Então:

Passo 5

Simplificamos as dimensões:
T = L^x cdot L^3y cdot M^-y cdot T^-2y cdot M^z
Agrupando os termos semelhantes:
T = L^x + 3y cdot M^-y + z cdot T^-2y

Passo 6

Agora, igualamos as potências das dimensões de cada lado da equação:
Para x + 3y = 0 :
-y + z = 0
Para -2y = 1 :
Para :

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Da equação de -2y = 1 implies y = -12 :
-y + z = 0 implies z = y = -12
Da equação de x + 3(-12) = 0 implies x - 32 = 0 implies x = 32 :
Da equação de :

Passo 8

Substituímos os valores de T = K cdot a^32 cdot G^-12 cdot M^-12 , T = K raiz a^3G M e na expressão inicial:
Simplificando, podemos escrever:

Resposta

T = K raiz a^3G M

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