Determinar o período de vibração T de uma gota, sabendo-se que o mesmo é função da massa específica rho da substância líquida, do raio r da gota e da tensão superficial sigma
Resposta: T=K raizrho r^3sigma lembrando que sigma= forsa comprimento

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o período de vibração de uma gota. Isso envolve entender como a massa específica da substância líquida, o raio da gota e a tensão superficial influenciam nessas vibrações. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre oscilações e tensão superficial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o período de vibração . É o tempo que a gota leva para completar uma oscilação completa. Para descobrir como depende de , e , precisamos relacionar essas grandezas.

Passo 3

A tensão superficial F = sigma times comprimento age como uma força restauradora que tenta manter a forma esférica da gota. Quando a gota vibra, essa força tenta trazê-la de volta ao equilíbrio. A força restauradora devido à tensão superficial pode ser expressa como:
No caso da gota, o comprimento relevante é o perímetro da superfície que está vibrando, que é proporcional ao raio .

Passo 4

Agora, vamos considerar a massa envolvida na vibração. A massa da gota m = rho V está relacionada à massa específica V = 43 pi r^3 e ao volume m = rho times 43 pi r^3 da gota:
Para uma gota esférica, o volume é:
Então, a massa fica:

Passo 5

Com a força restauradora T = 2pi raizmk e a massa , podemos usar a fórmula do período para um sistema massa-mola, que é:
Aqui, é a constante elástica equivalente da “mola” que, nesse caso, está relacionada à tensão superficial.

Passo 6

Para relacionar k = sigma times r com a tensão superficial T = 2pi raizmsigma r , observamos que , onde é o deslocamento. No nosso caso, é proporcional a e ao raio :
Substituindo na fórmula do período:

Passo 7

Vamos agora substituir a massa T = 2pi raizrho times 43 pi r^3sigma r que encontramos no passo 4:
T = 2pi raiz43 pi rho r^2sigma
Simplificando a expressão:

Passo 8

Para simplificar ainda mais, podemos absorver as constantes T = K raizrho r^3sigma e em uma constante geral . Assim, a relação fica:
Onde é uma constante que engloba os fatores numéricos.

Resposta

O período de vibração da gota é dado por:
T = K raizrho r^3sigma

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