Seja e .
Encontre a taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função no ponto . O objetivo aqui é encontrar a taxa de variação dessa função na direção de um vetor que forma um ângulo de com o gradiente de no ponto .
Matéria envolvida: Derivadas direcionais e gradiente de uma função.
O que precisamos: Calcular o gradiente de no ponto e usar essa informação para encontrar a derivada direcional na direção que forma com o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para uma função de duas variáveis, , o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

A derivada direcional de na direção de um vetor unitário é dada por:
Onde:
  • é o gradiente de .
  • é o vetor unitário na direção desejada.
  • é o ângulo entre e .
No nosso caso, e (já que é um vetor unitário). Portanto:

Passo 5

Vamos calcular a magnitude do gradiente :
E sabemos que .
Então, substituindo na expressão da derivada direcional:

Resposta

A taxa de variação de na direção de um vetor que forma um ângulo de com é .

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