Seja
e
.
Encontre a taxa de variação de
na direção de um vetor que forma um ângulo de
.
Encontre a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
no ponto
. O objetivo aqui é encontrar a taxa de variação dessa função na direção de um vetor que forma um ângulo de
com o gradiente de
no ponto
.
Matéria envolvida: Derivadas direcionais e gradiente de uma função.
O que precisamos: Calcular o gradiente de
no ponto
e usar essa informação para encontrar a derivada direcional na direção que forma
com o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Para uma função de duas variáveis,
, o gradiente é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é dada por:
Onde:
-
é o gradiente de . -
é o vetor unitário na direção desejada. -
é o ângulo entre e .
No nosso caso,
e
(já que é um vetor unitário). Portanto:
Passo 5
Vamos calcular a magnitude do gradiente
:
E sabemos que
.
Então, substituindo na expressão da derivada direcional:
Resposta
A taxa de variação de
na direção de um vetor que forma um ângulo de
com
é
.
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e raio
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